МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 18 (3 марта 2012 года). Индукция

Принцип математической индукции. Если какое-либо утверждение, в формулировке которого содержится обозначение натурального числа N (обозначим это утверждение как T(N)), верно при N = 1 и из T(N) следует T(N + 1), то это утверждение верно при любом натуральном N.

1.

Докажите, что

1	+	1	+	1	+	1	+	...	+	1	=	2	−	1	.
		2		4		8				2n				2n

2.

Докажите, что

1	+	1	+	1	+	1	+	...	+	1	<	2	−	1	.
		4		9		16				n²				n

3.

Докажите, что 2ⁿ > n при любом натуральном n.

4.

Найдите все натуральные n, при которых 2ⁿ > n².

5.

Неравенство Бернулли. Докажите, что (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na, если a, n — натуральные.

6.

Плоскость разделена на части n прямыми, где n > 2, причем не все прямые проходят через одну точку. Доказать, что среди получившихся частей есть треугольник.

7.

На какое максимальное число частей могут разбить плоскость

a.

n прямых,

b.

n окружностей?

8.

На краю пустыни имеется большой запас бензина и машина, которая при полной заправке может проехать 50 км. Имеется неограниченный запас канистр, в которые можно сливать бензин из машины и оставлять на хранение в любой точке пустыни. Докажите, что машина может проехать любое расстояние вглубь пустыни (канистры с бензином возить не разрешается, пустые можно возить в любом количестве)

9.

При каких n гири весом 1, 2, ..., n кг можно разложить на три равные по весу кучки?