МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Михаил Владимирович Шеблаев
2011/2012 учебный год

Занятие 2 (24 сентября 2011 года)

На этом занятии нам понадобится неравенство, известное как неравенство треугольника: |x| + |y| ≥ |x + y|.

1.
Решите уравнение |2011 − x| + |x − 2011| = 2010.
2.
Решите неравенство |x + 2000| < |x − 2001|.
3.
Докажите, что если a + b + c + d > 0, a > c, b > d, то |a + b| > |c + d|.
4.
Докажите, что ни для каких чисел x, y, t не могут одновременно выполняться три неравенства: |x| < |y − t|, |y| < |t − x|, |t| < |x − y|.
5.
На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения y2 − |y| = x2 − |x|.
6.
Юля говорит, что для любых трех точек A, B, и C на плоскости верно неравенство: АВ ≥ |АС − ВС|. Докажите, что она права.
7.
Света утверждает, что в треугольнике длина любой его стороны не превосходит полупериметра. Докажите, что Света не ошибается.
8.
Две реки (прямые линии) с живой и мертвой водой пересекаются под острым углом. Внутри острого угла стоит Иванушка-дурачок и хочет набрать живой и мертвой воды и вернуться на исходное место. Как ему это сделать, проехав минимально расстояние?