МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 16 (18 февраля 2012). Остатки квадратов и кубов

1.

Составьте таблицы остатков от деления на m квадратов и кубов целых чисел для m = 3, 4, 5, 7, 8. Они понадобятся при решении некоторых задач этого листка!

2.

Может ли число 200...009 быть квадратом целого числа при каком-либо количестве нулей?

3.

На какие цифры может оканчиваться квадрат целого числа?

4.

Может ли квадрат целого числа иметь вид

a)

5q + 2,

b)

3q − 1,

c)

6q − 1?

5.

Возьмем произвольное число n, найдем сумму его цифр, потом найдем сумму цифр результата и т.д. В итоге получим однозначное число R.

a)

Докажите, что R равно остатку от деления n на 9.

b)

Чему может равняться R, если n — точный квадрат.

c)

А если R — точный куб?

6.

Существует ли натуральное число N такое, что N² + 1 делится на 3? N³ + 3 делится на 99.

7.

Докажите, что если x² + y² делится на 3 (x, y — целые), то x и y делятся на 3.

8.

Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа? А трех нечетных чисел?

9.

a, b, c — натуральные числа, причем a + b + c делится на 6. Докажите, что a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.