МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 3 (1 октября 2011 года)

1.

Докажите, что если a > b, то НОД(a, b) = НОД(b, a − b).

2.

Найдите НОД (25, 1717).

3.

Пусть u = НОК(a, b), m — какое-то другое общее кратное a, b. Докажите, что u | m (сдаётся письменно!).

4.

Коля берет бумажный лист m×n, отрезает от него квадрат по меньшей стороне и кидает на пол. От оставшегося прямоугольника снова отрезается квадрат и так далее до тех пор, пока это возможно. Разрез идет по линиям клеток. Что останется в руках у Коли, когда он закончит этот увлекательный процесс и приступит к уборке?

5.

Задано натуральное число a. Какое наибольшее значение может принимать НОД(n² + a, (n + 1)² + a)?

6.

Фальшивомонетчик Билл печатает банкноты достоинством 17 долларов, а фальшивомонетчик Джон — банкноты достоинством 23 доллара. Джон задолжал Биллу 10 долларов. Как им расплатиться? Придумайте несколько способов.

7.

Верно ли, что многочлен n² + n + 41 принимает только простые значения?

8.

С 1 сентября четыре школьника начали посещать кинотеатр. Первый бывал в нем каждый четвертый день, второй — каждый пятый, третий — каждый шестой и четвертый — каждый девятый. Когда второй раз все школьники встретятся в кинотеатре?

9.

Решите уравнение |x − 1717| = |1919 − x|.

Домашнее задание

10.

Есть две банки, емкости которых равны 310 и 210 мл. Можно ли при помощи этих банок перелить в пустую бочку из полной бочки 3 л. воды? 10 мл? 45 мл?

11.

Докажите, что уравнение ^x/_y + ^y/_z + ^z/_x = 1 не разрешимо в натуральных числах.

12.

Докажите, что для нечетных чисел a, b, c верно НОД(^{(a + b)}/₂, ^{(b + c)}/₂, ^{(a + c)}/₂) = НОД(a, b, c).