МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 1 (17 сентября 2011 года)

1.

Докажите, что |x| + |y| + |z| ≤ |x + y − z| + |x − y + z| + |−x + y + z|, где x, y, z — действительные числа.

2.

На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?

3.

В городе Васюки у всех семей были отдельные дома. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, который раньше занимала другая семья. В связи с этим было решено покрасить все дома в красный, синий или зелёный цвет, причём так, чтобы для каждой семьи цвет нового и старого домов не совпадал. Можно ли это сделать? Если да, то как, а если нет, то почему?

4.

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k (1 ≤ k ≤ 25) в любых k коробках лежат шарики ровно k + 1 различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

5.

Сколькими способами 28 учеников могут выстроиться в очередь в столовую, если Костю и Гошу нельзя ставить друг за другом?

6.

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причем одинаковые цифры — на одинаковые буквы, а разные — на разные. В итоге у него получилось АБ × ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся.

7.

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию — каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника — тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

8.

У Ани в классе 22 одноклассника, причем каждый из них имеет различное число друзей в классе. Сколько из них дружит с Аней?