МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 14 (17 декабря 2011). Геометрия в клеточку

1.

Дан прямоугольник 100×101, разбитый линиями сетки на единичные квадратики. Найдите число отрезков, на которое линии сетки разбивают диагональ.

2.

В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

3.

а)

Сколькими способами можно разбить прямоугольник 8×2 на прямоугольники 1×2?

б)

Придумайте и опишите фигуру, которую можно разрезать на прямоугольники 1×2 ровно 555 способами.

4.

12 спичками несложно ограничить квадрат площадью 9 клеточек со стороной в 1 спичку. А как ограничить теми же спичками фигуру с площадью 4 такие же клеточки? Спички нельзя ломать и накладывать одну на другую.

5.

На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка P пересечения его диагоналей. Проведите через P прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб.

6.

Разрежьте изображённую на рисунке трапецию на три части и сложите из них квадрат.

7.

На клетчатой бумаге проведена диагональ прямоугольника 1×4. Покажите, как, пользуясь только линейкой без делений, разделить этот отрезок на три равные части.

8.

На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4×4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) площади 6 клеток.