МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 4 (8.10.2011). Делимость-2

1.

Докажите, что числа a и b дают одинаковые остатки при делении на d тогда и только тогда, когда их разность делится на d.

2.

Докажите, что если число имеет нечетное количество натуральных делителей, то это число — точный квадрат (т.е. квадрат некоторого натурального числа).

3.

Докажите, что m(m + 1)(m + 2) делится на 6.

4.

Докажите, что произведение любых k последовательных натуральных чисел делится на k!.

5.

Может ли число n! оканчиваться ровно на 5 нулей?

6.

Может ли число, записываемое при помощи 100 единиц, 100 нулей и 100 двоек быть точным квадратом?

7.

Докажите, что точный квадрат не может заканчиваться на две нечетные цифры.

8.

Докажите, что число 20102011 нельзя представить в виде суммы двух точных квадратов.

9.

Сколько различных натуральных делителей у числа а) p^a, б) p₁ p₂ ... p_k, в) p₁^a₁ p₂^a₂ ... p_k^a_k, где p_i – различные простые числа.

10.

Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда можно выбрать два таких числа, что а) их разность делится на 51; б) их сумма или разность делится на 100.

11.

Найдите остаток от деления числа 2010! на 2011.

12.

Постройте графики функций a) y = |x² – 8x|, b) y = x² – 8|x|, c) y = |x² – 8|x||.