МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 22 (31 марта 2012 года). Десятичная система счисления

1.

Между цифрой единиц и цифрой десятков двузначного числа вставили ноль, и оказалось, что полученное число в девять раз больше исходного. Найти исходное число. 

2.

а)

Докажите, что число ХАХА делится на 101 (одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры).

б)

Докажите, что число ХАХАХА делится на 7.

3.

а)

Докажите, что число 111...11 (81 единица) делится на 81.

б)

Верно ли, что если сумма цифр числа делится на 81, то и оно само делится на 81?

4.

Предпоследняя цифра числа, являющегося точным квадратом, нечётна. Докажите, что последняя – 6.

5.

Докажите, что степень двойки не может оканчиваться на четыре одинаковые цифры

6.

Найдите четырёхзначное число, являющееся точным квадратом, у которого две первые цифры совпадают и две последние тоже совпадают.

7.

Десятичная запись числа начинается с единицы, а если её перенести в конец записи, то число увеличится в три раза. Найдите такое число.

8.

Докажите, что существует бесконечно много таких троек натуральных чисел a, b, c, что a! = b! · c!. (Факториалом n! натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от единицы до него: n! = 1·2·3·...·n.)

9.

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени тройки четна (воспользуйтесь индукцией!)