МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 17 (25 февраля 2012 года). Признаки делимости

1.

Простое или составное число 123456789? Изменится ли ответ, если в этом числе произвольно переставить цифры?

2.

Найдите x и y — цифры числа 42x4y, если известно, что оно делится на 72.

3.

Докажите, что ваше 28-летие будет отмечаться в тот же день недели, в который вы родились.

4.

Докажите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма цифр делится на 7, то и само число делится на 7.

5.

К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

6.

Число 35! равно 10333147966386144929*66651337523200000000. Найдите цифру, замененную звездочкой.

7.

У числа 22011 зачеркнули первую цифру и прибавили ее к оставшемуся числу. С результатом проделали ту же операцию и т. д., пока не получили 10-значное число. Докажите, что в этом числе есть две одинаковые цифры.

8.

Докажите, что

a.

25n − 2 + 5n − 13n + 1 делится на 17 при любом натуральном n;

b.

122n + 1 + 11n + 2 делится на 133 при любом натуральном n.

9.

Докажите, что число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры и учётверённой последней цифры, делится на 13.

10.

Докажите, что число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.