МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Теория чисел — 1

Делимость (22 октября 2011 года)

Все помнят признак делимости на два: «Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра чётная». Но доказывать его почему-то умеют не все. Исправим это.

Для работы с делимостью хочется ввести какие-то обозначения для отдельных цифр в числе. Например, произвольное двузначное число можно обозначить, как ab. (При a=5, b=7 получим ab=57.) К сожалению, такую запись легко перепутать с a·b. Поэтому, чтобы избежать путаницы, математики традиционно ставят чёрточку над буквенной записью, вот так: abc.

Вернёмся к делимости на 2. Запишем число, чётность которого нужно узнать, вот так: a...bc. Тогда a...bc = a...b×10 + c = a...b×5×2 + c = чётное + c. При чётных c эта сумма чётна, при нечётных — нечётна. Признак доказан.

1.

Докажите признаки делимости на а) 10 (последняя цифра — 0), б) 5 (последняя цифра — 0 или 5).

2.

Докажите признаки делимости на а) 25 (последние две цифры — 00, 25, 50 или 75), б) 4 (признак так же связан с последними двумя цифрами, придумайте его сами), в) 8 (признак похож на предыдущие, придумайте его сами).

Признак делимости на три немного менее известен, и доказывается немного по-другому. «Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на три». Докажем его для трёхзначных чисел: abc = 100×a + 10×b + c = 99×a + 9×b +(a + b + c). Первые два слагаемых делятся на 3, значит всё зависит только от a + b + c, что и надо было доказать. Для чисел, в которых больше, чем три цифры, можно проделать то же самое.

Пример 1. 2853 = 2·1000 + 8·100 + 5·10 + 3 = 2·999 + 8·99 + 5·9 + (2 + 8 + 5 + 3) = 3·(2·333 + 8·33 + 5·3) + 18. Получается, что 2853 делится на 3.

Пример 2. 24756284652986589465284 делится на 3, если 125 делится на 3, что в свою очередь происходит, если 8 делится на 3, так что это большущее число на 3 не делится.

3.

а)

Придумайте (вспомните) и докажите признак делимости на 9.

б)

Верен ли аналогичный признак делимости на 27?

4.

Известно, что 35! = 103331479663861★4929666651337523200000000. Какая цифра стоит на месте звёздочки?

5.

Может ли число, записываемое с помощью 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть полным квадратом?

6.

Четырёхзначное число перевернули (например, 1234 → 4321) и сложили с исходным. Докажите, что получившееся число делится на 11.

7.

Найдите такое число, чтобы при делении на 2 оно давало остаток 1, при делении на 3 давало остаток 2, при делении на 4 давало остаток 3, ..., при делении на 10 давало остаток 9.

8.

Может ли быть такое, что ab·cd = ffee, если разные буквы обозначают разные цифры (а одинаковые — одинаковые)?

9.

Бывает ли так, что угу делится на 13, а гуг не делится?