МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Простуженные коты и прочие неприятности (15 октября 2011 года)

1.

За сутки до дождя Васин кот всегда чихает. Сейчас кот чихнул. Верно ли, что через сутки пойдёт дождь?

Условие чего-то называется достаточным, если всегда, когда это условие выполняется, выполняетcя и это что-то. Иначе говоря, условие А называется достаточным для В, если из истинности А следует истинность В.

Пример 1. Чтобы быть девочкой, достаточно быть девочкой Машей.

Пример 2. Для чётности целого числа достаточно, чтобы оно заканчивалось на 6.

Условие чего-то называется необходимым, если всегда, когда это что-то выполняется, выполнено и это условие. Иначе говоря, условие А называется необходимым для В, если из истинности В следует истинность А.

Пример 3. Чтобы быть девочкой Машей, необходимо быть девочкой.

Пример 4. Для чётности целого числа необходимо, чтобы оно заканчивалось не на 5.

2.

Сформулируйте:

1)

Достаточное условие того, что число не делится на 3.

2)

Необходимое условие того, что число делится на 6.

3)

Необходимый и достаточный признак параллелограмма.

4)

Необходимый, но недостаточный признак параллелограмма.

5)

Достаточный, но не необходимый признак параллелограмма.

6)

Достаточное, но не необходимое условие того, что 2×2 = 4.

7)

Необходимое, но не достаточное условие того, что через минуту будет конец света.

3.

Вася сказал, что поедет в аквапарк, если не будет дождя, и хотя бы один из его друзей, Пети и Коли, тоже поедет. Сформулируйте, в каком случае Вася не поедет в аквапарк.

4.

Папа сказал детям: “Если мы с мамой поедем летом в дом отдыха, то вы все поедете в детский лагерь.” В школе детей спросили, куда они поедут летом. Петя ответил: “Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха.” Галя сказала: “Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в лагерь.” “Нет, не так, — вмешался Коля. — Если мы не поедем в лагерь, то кто-то из родителей не поедет в дом отдыха.” Чей ответ равносилен тому, что сказали родители?

5.

На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: «А», «Б», «4», «5». Что написано на противоположных сторонах карточек, неизвестно. Какое наименьшее число карточек надо перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения: «Если на одной стороне карточки написано чётное число, то на другой — гласная буква»?

6.

Компания из 30 студентов трижды посещала ремонтную мастерскую. Каждый приносил с собой чайник, микроволновку или оба прибора сразу. Докажите, что было два студента, которые каждый раз приносили одинаковые приборы.