МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занимательная геометрия

1.

Существует ли четырёхугольник, у которого любую вершину можно перенести (оставив остальные на месте) так, что получится четырёхугольник, равный исходному?

2.

Докажите, что сумма высот в треугольнике не меньше, чем \(12S/P\), где \(S\) — его площадь, \(P\) — периметр.

3.

Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки внутри правильного треугольника до его сторон есть константа.

4.

Верно ли, что литровая и двухлитровая бутылки кока-колы подобны, то есть одна получается из другой увеличением всех размеров в несколько раз?

5.

Рыбка плавает в кубическом аквариуме. Спереди, справа и сверху ее путь выглядит, как квадрат, стороны которого образуют границу соответствующей грани аквариума.

а)

Нарисуйте хотя бы один такой путь.

б)

Может ли существовать путь длиннее, чем тот, что вы нарисовали?

6.

Есть кран с водой и цилиндрическая кастрюля. Как налить в кастрюлю воды ровно до половины?

7.

После семи стирок и длина, и ширина, и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

8.

Расположите шесть одинаковых незаточенных карандашей так, чтобы каждый карандаш касался всех остальных.

9.

Что тяжелее: два шара радиусов 3 см и 5 см или один шар радиуса 8 см? Шары сделаны из одного и того же материала.

10.

Катет равен гипотенузе.

Доказательство: Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник. \(D\) — середина стороны \(BC\). Проведем биссектрису угла \(\angle CAB\), а в точке \(D\) восставим перпендикуляр к \(BC\). Они пересекутся в точке \(O\).

Опустим из точки \(O\) перпендикуляры на стороны \(AB\) и \(AC\). \(M\) и \(N\) — основания этих перпендикуляров. Треугольники \(AMO\) и \(ANO\) равны по гипотенузе и острому углу (\(\angle MAO=\angle NAO\) по построению, гипотенуза \(AO\) — общая). Следовательно, \(OM=ON\), \(AM=AN\).

Треугольники \(COD\) и \(OBD\) равны по двум катетам (\(OD\) — общий, \(CD=DB\), т.к. \(D\) — середина \(BC\)). Следовательно, \(OC=OB\).

Треугольники \(MCO\) и \(NBO\) равны по катету и гипотенузе (\(OC=OB\), \(OM=ON\) по доказанному). Следовательно, \(MC=NB\).

Как мы уже доказали, \(MC=NB\), \(AM=AN\). Тогда \(MC+AM=NB+AN\Longleftrightarrow AC=AB\), катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать.

Вопрос: В чем подвох?