МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Системы счисления — 10₂

В десятичной системе счисления есть разряды единиц, десяток, сотен и тд. То есть, когда мы пишем 25253, то имеем в виду 2·10⁴ + 5·10³ + 2·10² + 5·10 + 3. В других системах разряды другие, например в троичной — разряды единиц, троек, девяток и т. д.: 12011₃ = 1·3⁴ + 2·3³ + 0·3² + 1·3 + 1 = 81 + 54 + 0 + 3 + 1 = 139₁₀. Точно так же можно переводить из любой системы счисления в десятичную. В другую сторону: возьмём например число 1000₁₀ и семиричную систему счисления. Сначала поделим 1000 на 7 с остатком, получим 142 и 6 в остатке. Значит, в разряде единиц стоит 6. Дальше делим 142 на 7 с остатком, получаем 20 и 2 в остатке, значит в разряде семёрок 2. 20 на 7: 2 и 6 в остатке, значит в разряде 7² стоит 6, в разряде 7³ — 2, итого 2626₇. Это можно объяснить, если записать все действия так: 1000 = 7·142 + 6 = 7²·20 + 7·2 + 6 = 7³·2 + 7²·6 + 7·2 + 6.

1.

Переведите в десятичную систему: а) 101001₂; б) 1012₃; в) 124₈.

2.

Запишите 1000 в а) двоичной; б) шестиричной; в) семиричной и г) четырнадцатеричной системах счисления.

Числа, записанные в другой системе счисления, можно складывать, вычитать, умножать и делить в столбик, почти так же, как обычные.

3.

Посчитайте в столбик: а) 30 423₅ + 21 123₅; б) 321₅·14₅.

4.

Один школьный учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался? Сколько у него учеников?

5.

а)

Опишите все системы счисления, в которых число делится на 2 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2.

б)

Сделайте то же самое для 10.

в)

Для 12.

6.

В каких системах счисления 441 являтся квадратом какого-то числа?

7.

Может ли число равняться произведению своих цифр в какой-либо системе счисления (конечно, рассматриваем только такие, в которых число записываетя более, чем одной цифрой)?

8.

Как из числа в 100-чной системе быстро сделать число в 10-чной системе исчисления? А как из числа в 8-чной системе исчисления сделать число в 64-чной системе исчисления?

9.

Имеются чашечные весы. Придумайте такие а) 6; б) 4 гири, что с их помощью можно одним взвешиванием отмерить любой вес от 1 до 40 граммов.

10.

Робинзон нашел десять мешков с золотыми монетами. Ему доподлинно известно, что в одном или нескольких из них все монеты фальшивые и весят они по 9 грамм — на 1 грамм меньше настоящей. Как Робинзону за одно взвешивание на весах со стрелкой узнать, в каких мешках монеты фальшивые?

• Система счисления, в которо число записыватся только с помощью единиц, называется унарной. Судя по всему, эта первая система счисления, придуманная человеком. Например, число 7 записыватся так: 1111111.
• Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в году. Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).
• Древнеегипетская система счисления десятичная, но не позиционная. Для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶ использовались специальные цифры. Числа записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи, например ∩∩|∩ = 31.
• Шумерская система счисления шестидесятирична, сейчас её ипользуют для изерения времени (минута = ¹/₆₀ часа, секунда = ¹/_60² часа, терция ¹/_60³ часа) и углов (если кто не знает, то ¹/₂° = 30' = 1800''). Большинство использовавшихся систем счисления десятичны только потому, что палецев на руках 10. Существует гипотеза О. Нейгебауэра о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей, из-за этого и возникла такая система. В системе шумеров почему-то не было цифры 0, так что числа 1001, 11 и 110 записывались одинаково.
• Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её тоже связано со счетом на пальцах. Считали большим пальцем руки фаланги остальных четырёх пальцев, всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук.
• Греческая система счисления относится к алфавитным системам счисления, где в качестве цифр использовались буквы алфавита. В греческом алфавите всего 24 буквы, в системе счисления к ним добавляли ещё три. Девять букв означали числа от 1 до 9, ещё девять — от 10 до 90, оставшиеся — от 100 до 900. Например, 632 записывалось так: χλβ (χ это 600, λ — 30, β — 2). Чтобы записать тысячи, слева от их числа ставили запятую. Для чисел, больших 9999, использовалось M, означавшее 10000, его можно было домножать на какое-то число от 1 до 9999. Числа, большие 99999999, скорее всего записывали как-то аналогично. Например, 102001 записывалось так: Mι,βα. (α — это 1, ι — 10).