МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Раскраски

Есть много задач, в которых надо что-нибудь раскрасить. Например: „Можно ли разрезать доску 8×8 без двух противоположных угловых клеток на доминошки?”. Решение: нет, нельзя, так как если раскрасить доску в шахматную раскраску, то получится 32 белых и 30 чёрных клеток, а в каждой доминошке одна чёрная и одна белая, значит разрезать не получится (останутся две лишние белые клетки). Шахматная раскраска наверное яляется самой популярной. Ещё часто помогает раскрасить в полосочку (не обязательно использовать два цвета). Или по диагоналям: первая в один цвет, вторая во второй, третья в третий, и тд, пока цвета не кончатся (а потом снова первый-второй-...).

0.

Что такое диагональная раскраска в два цвета?

1.

Два коня, белый и чёрный, играют друг с другом на шахматной доске. Вначале белый стоит на поле a1, а чёрный — на поле b1. Первым ходит белый конь. Докажите, что чёрный конь не сможет съесть белого, даже если белый будет ему поддаваться.

2.

На каждой из клеток доски размером 5× 5 находится фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на соседнюю по стороне клетку так, чтобы снова в каждой из клеток оказалось по одной фишке. Сможет ли Петя это сделать?

3.

а)

Имеется бесконечная клетчатая лента шириной в одну клетку. 10 кузнечиков сидят в 10 подряд идущих клетках. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Петя оказаться в клетке, соседней с той, где он начинал?

б)

Имеется бесконечная клетчатая плоскость. Четыре кузнечика сидят в соседних клетках, образуя квадрат. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Петя оказаться на том месте, где в начале сидел кузнечик Вася?

в)

Условие то же, что и в б). Докажите, что три кузнечика никогда не смогут оказаться на одной прямой, параллельной стороне квадрата.

4.

Играют в «Морской бой» на поле 10×10. Известно, что на нём как-то расположен один четырехпалубный корабль. Какое наименьшее количество выстрелов необходимо произвести, чтобы наверняка его ранить?

5.

Докажите, что шахматную доску нельзя замостить пятнадцатью фигурками 1×4 и одной буквой «Г» из 4 клеток.

6.

На бесконечной клетчатой бумаге отметили 2011 клеток. Докажите, что из них можно выбрать 503 клетки так, чтобы они не имели между собой общих точек.

7.

В таблице 8×8 а) одна; б) все угловые клетки покрашены чёрным цветом, остальные белым. За ход можно одновременно поменять цвета всех клеток в столбце или строке. Можно ли через несколько ходов получить таблицу, покрашенную в белый цвет?

8.

На шахматной доске 8×8 двое сыграли в «Морской бой» не по правилам: один расставил 21 трёхпалубный корабль, а второй выстрелил один раз и не попал. Куда он мог выстрелить? (Укажите все возможные варианты.)