МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Правда ли, что? (8 октября 2011 года)

Чтобы обосновать ответ на вопрос «Правда ли, что...?» (или на любой другой аналогичный вопрос), надо или привести хотя бы один пример того, когда утверждение не выполняется (если обосновывается ответ «нет, это неправда»), или показать, что утверждение выполняется во всех случаях (для обоснования ответа «да, это правда»).

Hint 1. Вопрос «Верно ли, что ...?» аналогичен вопросу «Может ли быть такое, что не ...?»

Hint 2. Если задача не получается, то надо попытаться решить похожую задачу попроще, например для меньших чисел. Серьёзно. Так делают настоящие математики. И просто олимпиадники. И когда мы делаем в задаче несколько пунктов, это чаще всего как раз по этой причине.

1.

На доске записаны числа 1, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

2.

Верно ли, что два треугольника равны, если у них равны а) сторона и два соответствующих угла; б) три угла; в) две соответствующие стороны и угол не между ними; г) две стороны и три угла.

3.

Верно ли, что если разбить квадрат на несколько прямоугольников, то у каких-то двух из них будет общая сторона?

4.

Можно ли из пяти попарно различных квадратов сложить прямоугольник?

5.

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

6.

Верно ли, что если линии, соединяющие противоположные середины сторон четырёхугольника, перпендикулярны, то это прямоугольник?

7.

Правда ли, что при любом целом n число n² + n + 41 простое?

8.

а)

Взвод солдат построили в шеренгу. Оказалось, что рост каждого солдата (кроме крайних) равен полусумме ростов его соседей. Правда ли, что все солдаты одного роста?

б)

Группу детсадовцев построили в хоровод. Оказалось, что рост каждого детсадовца равен полусумме ростов его соседей. Правда ли, что все детсадовцы одного роста?

9*.

Петя взял двадцать последовательных натуральных чисел, записал их друг за другом в некотором порядке и получил число M. Вася взял двадцать одно последовательное натуральное число, записал их друг за другом в некотором порядке и получил число N. Могло ли случиться, что M = N?