МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Краткий план решения некоторых задач по теории вероятности:

1. Выбрать «элементарные» события так, чтобы их вероятности были одинаковыми. Например, 6 возможных результатов бросания кубика.
2. Убедиться, что кроме этих элементарных событий ничего случиться не может (например, что на кубике не может выпасть семёрка).
3. Убедиться, что эти элементарные события делятся на «хорошие» и «плохие», что нет событий, которые могут быть и такими и такими. (Допустим, если для нас выбрасывание 5 и 6 на кубике — хорошее событие, а всего остального — плохое, то всё ок. Если же хорошим событием является результат подбрасывания монетки, то это не имеет отношения к кубику, поэтому наши элементарные события бесполезны.)
4. Чтобы найти вероятность «хорошего» исхода, надо поделить количество хороших событий на количество всех событий.

1.

Симметричную монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что а) все 10 раз выпадет орёл; б) сначала выпадут 6 орлов, а затем 4 решки; в) сначала выпадут 3 решки?

2.

Пишется наудачу некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа равна 5?

3.

Какова вероятность того, что в семье два мальчика, если один из двух детей — мальчик?

4.

Тест состоит из 10-и вопросов, на каждый есть 4 варианта ответа. Двоечник Вася отвечает «наобум». Какова вероятность того, что он ответит верно а) на все вопросы; б) ровно на 5 вопросов; в) не менее, чем на 5 вопросов?

5.

В некой игре ведущий предложил игроку угадать, за какой из трех закрытых дверей находится автомобиль. Игрок наугад выбрал дверь. После этого ведущий (зная, где находится автомобиль) открыл одну из двух других дверей, за которой не было автомобиля. Далее ведущий предложил игроку либо изменить свое решение и выбрать другую закрытую дверь, либо настаивать на первоначально выбранной двери. Как лучше поступить игроку?

6.

На экзамене все 30 билетов лежат на столе, студенты по очереди тянут билеты, вытянутые билеты убирают со стола. Каким по счёту выгоднее тянуть билет Коле, если он выучил а) 1 билет; в) 3 билета?

7.

Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,2. Какова вероятность поразить цель, если в 2% случаев выстрел не происходит из-за осечки?

8.

(О вреде подхалимства.) В жюри из трех человек вердикт выносят большинством голосов. Председатель и второй член жюри принимают верное решение независимо с вероятностями 0,7 и 0,9 соответственно, а третий для этого бросает монету. Как изменится у жюри вероятность вынести верное решение, если третий начнет копировать решение председателя?

9.

Даны 10 черных и 10 белых шаров. Вы распределяете их все по двум урнам, после чего вам предложат выбрать случайный шар из случайной урны. Как действовать, чтобы максимально увеличить шансы вынуть белый шар?