МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Инварианты 2

1.

На 6 ёлках сидят 6 чижей, на каждой ёлке — по чижу. Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж перелетает на столько же метров в противоположном направлении. Могут ли все чижди собраться на одной ёлке? А если чижей и ёлок семь? А если чижей \(n\)? При каких \(n\) все чижи смогут собраться на одной ёлке?

2.

В таблице \(3\times3\) одна клетка (угловая) покрашена в синий цвет, а остальные в красный. Можно перекрасить все клетки столбца или строки в противоположный цвет (синий перекрашивается в красный, а красный - в синий). Можно ли с помощью этой операции добиться того, чтобы все клетки стали красными?

3.

Илья Муромец воюет со Змеем Горынычем. За один удар Илья может срубить не более трёх голов. Когда Илья отрубает ему одну голову, вырастает еще три. Когда одним ударом срубает три головы, вырастает только одна. Когда одним ударом отрубает две головы, то вырастает четыре. Может ли Илья победить, если голов в начале битвы было 3?

4.

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет (черный — в белый, белый — в черный) сразу все клетки, расположенные внутри квадрата размером \(2\times2\). Может ли при этом на доске остаться ровно одна черная клетка?

5.

Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет? А на 27?

6.

В таблице \(m\times n\) расставлены числа так, что сумма чисел в любой строке или столбце равна 1. Докажите, что \(m = n\).
Примечание. Как ни странно, но в некотором смысле это тоже задача на инвариант.

7.

С многоугольником разрешено проделывать следующую операцию: если многоугольник делится отрезком \(AB\) на на два многоугольника, то один из этих многоугольников можно отразить симметрично относительно серединного перпендикуляра к отрезку \(AB\). (Операция разрешается только в том случае, когда в результате получается несамопересекающийся многоугольник.) Можно ли путем нескольких таким операций получить из квадрата правильный треугольник?

8.

Двое по очереди ломают шоколадку \(6\times8\). За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?

9.

На плоскости провели \(n>100\) прямых, среди которых нет параллельных, так, что ни в какой точке не пересекается больше 2 прямых. Все точки пересечения покрасили в синий цвет. Вася хочет перекрасить все точки пересечения в красный цвет. За один ход Вася может перекрасить в противоположный цвет (синие точки — в красный, красные точки — в синий) все точки, лежащие на одной прямой. Может ли такими действиями Вася перекрасить все точки в красный цвет?

Дополнительные задачи

10.

Есть правильный 6-угольник, составленный из шарнирных звеньев. Верно ли, что любое (плоское) «движение» такого многоугольника можно представить композицией движений, в каждом из которых участвуют только три стороны?

11.

Даны функции:
\(f(x) = x - 1/2\)
\(g(x) = x^2 - 1/4\),
\(h(x) = x + 1/2.\)
Разрешается: умножать эти функции на произвольную функцию, складывать их c результатами выполненных действий. Получить такими действиями функцию \(c(x)=1\).

А если теперь одну из функций стерли. Можно ли снова получить \(c(x)=1\)? Разберите все возможные случаи.

12.

Дана некоторая тройка чисел. С любыми двумя из них разрешается проделывать следующее: если эти числа равны \(a\) и \(b\), то их можно заменить на \(\frac{a+b}{\sqrt2}\) и \(\frac{a-b}{\sqrt2}\). Можно ли с помощью таких операций получить тройку \((1,\sqrt2,1+\sqrt2)\) из тройки \((2,\sqrt2, \frac{1}{\sqrt2})\)?

13.

В одной вершине куба написано число 1, а в остальных — нули. Можно прибавлять по единице к числам в концах любого ребра. Можно ли добиться, чтобы все числа делились а) на 2; б) на 3?