МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Руководитель Любовь Сергеевна Шатина
2015/2016 учебный год

Занятие 24 (23 апреля 2016 года). Игра «Завоевания»

Правила игры см., например, здесь.

Получите число 84, используя 5 троек и знаки арифметических действий.

В большой книге предсказаний погоды написано: если сегодня дождь, то завтра будет солнце; если сегодня снег, то завтра дождь; если сегодня холодно, то завтра будет пасмурно; если сегодня солнце, то завтра будет тепло; если сегодня тепло, то завтра будет холодно; если сегодня ветер, то завтра будет снег; если сегодня пасмурно, то завтра будет ветер. Оказалось, что в мае все предсказания сбылись. 12 мая были ветер и солнце. Какая погода 16 мая?

Ответ. Тепло и ветер.

На вопрос о возрасте его детей математик ответил:

– У нас с женой трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребёнок – 70 годам, а сейчас суммарный возраст детей – 14 лет.

Сколько лет каждому ребенку, если известно, что у всех членов семьи дни рождения в один и тот же день?

Ответ. 8 лет, 5 лет, 1 год.

Маша и Саша, поссорившись, пошли с равными скоростями в противоположные стороны. Через 3 минуты Саша решил помириться и, развернувшись, стал догонять Машу, увеличив скорость в три раза. Сколько пройдёт минут, прежде чем он догонит Машу (с того момента, когда решил помириться)?

Ответ. 3 минуты.

На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая черная. Костя перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Оля – 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими черной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?

Ответ. 40 карточек.

Нарисуйте три кружочка и четыре звёздочки и соедините их непересекающимися дорогами так, чтобы из каждого кружочка выходило ровно четыре дороги, а из каждой звёздочки — ровно три дороги. Два пункта не могут быть соединены двумя дорогами.

Иван Иванович купил собаку. Саша думает, что эта собака — черный пудель, Паша считает ее белой болонкой, а Маша — белым бультерьером. Известно, что каждый из ребят верно угадал либо породу, либо цвет шерсти собаки. Назовите породу собаки и цвет ее шерсти.

Ответ. Белый пудель.

Король сказал королеве:

– Сейчас мне вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет, сколько Вам теперь. Когда же Вам будет столько лет, сколько мне теперь, нам вместе будет 63 года.

Сколько лет каждому из них?}

Ответ. 28 королю, 21 королеве.

Два тупых угла расположены так, что две их стороны образуют развернутый угол, а две другие — прямой угол. Чему равна сумма этих тупых углов?

Ответ. 270°.

У Маши есть двухрублёвые и пятирублёвые монеты. Если она возьмёт все свои двухрублёвые монеты, ей не хватит 60 рублей, чтобы купить четыре пирожка. Если все пятирублёвые – не хватит 60 рублей на пять пирожков. А всего ей не хватает 60 рублей для покупки шести пирожков. Сколько стоит пирожок?

Ответ. 20 рублей.

Вася поставил на шахматную доску несколько не бьющих друг друга королей так, что нельзя больше добавить ни одного без нарушения этого правила. Сколько королей могло оказаться на доске? Укажите все возможные варианты!

Ответ. От 9 до 16.

Сколько рыцарей может быть за круглым столом, если каждый из 10 сидящих произносит фразу: «Мои соседи — лжецы». Укажите все возможные варианты.

Ответ. 4 или 5.

Коля и Катя учатся в одном классе. Мальчиков в этом классе в два раза больше, чем девочек. У Коли одноклассников на 7 больше, чем одноклассниц. Сколько одноклассниц у Кати?

Оля задумала четыре целых числа, а затем нашла все их попарные суммы. Пять из них оказались равны 70, 110, 120, 180 и 230. Чему равна шестая сумма?

Ответ. 190.

Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пёс откусит свой кусок и убежит, коту достанется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут?

Ответ. 400 г.

Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. А сколько скамеек насчитал третий?

Рассадите во всех клетках квадрата 5×5 рыцарей и лжецов так, чтобы каждый из них мог сказать: «У меня ровно четыре соседа-лжеца». Соседями считаются жители клеток, имеющих общую сторону.

На полке стоят, плотно прилегая друг к другу, две книги по 250 листов в каждой (см. рисунок). Каждая из обложек в 10 раз толще бумаги, на которой напечатаны обе книги. В каждую книгу вложена закладка. Расстояние между закладками втрое меньше общей толщины двух книг. Между какими листами лежит закладка во второй книге, если в первой книге она лежит посередине?

Ответ. 35 и 36.

Найдите наименьшее натуральное \(n\) такое, что все 73 дроби

\(\dfrac{19}{n+21}\), \(\dfrac{20}{n+22}\), \(\dfrac{21}{n+23}\), ..., \(\dfrac{91}{n+93}\)

несократимы.

Ответ. 95.

Прямая, проходящая через вершину \(A\) и точку \(E\) на стороне \(BC\) прямоугольника \(ABCD\), делит прямоугольник на две части: треугольник \(ABE\) и трапецию \(AECD\). Известно, что \(S_{ABE}:S_{AECD} = 1/6\). Найдите \(BE : EC\).

Ответ. \(2:5\)

Митя соединил проводами несколько компьютеров. От одного компьютера отходит 4 провода, от трех компьютеров по 3 провода, от четырех — по 2 провода и от одного компьютера — один провод. Сколько всего проводов протянул Митя?

Ответ. 11.

На клетчатом листе бумаги закрасили несколько клеток так, что получилась фигура без осей симметрии. Ваня закрасил ещё одну клетку, и у новой фигуры оказалось четыре оси симметрии. Как могла выглядеть исходная фигура?

Дан куб с ребром 2. Покажите, как наклеить на него без наложений 10 квадратов со стороной 1 так, чтобы никакие квадраты не граничили по отрезку (по стороне или её части). Перегибать квадраты нельзя. (В ответе нарисуйте развёртку куба с наклеенными квадратами.)

В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором — синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем — лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась?}

Ответ. Оранжевый карандаш, синяя ручка, красный ластик.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!