МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 15 (13 февраля 2016 года). Немного геометрии

1.

В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики

2.

На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

3.

У листа бумаги только один ровный край. Лист согнули, потом разогнули обратно. A — общая точка ровного края и линии сгиба. Постройте перпендикуляр к этой линии в точке A. Сделайте это без помощи чертёжных инструментов, а лишь перегибая бумагу.

4.

В квадрате закрашена часть клеток, как показано на рисунке справа. Разрешается перегнуть квадрат по любой линии сетки, а затем разогнуть обратно. Клетки, которые при перегибании совмещаются с закрашенными, тоже закрашиваются. Можно ли закрасить весь квадрат:

а)

за 5 или менее;

б)

за 4 или менее;

в)

за 3 или менее таких перегибания?

5.

Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние 5/6 без помощи линейки и других измерительных инструментов. (Лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остается след от линии сгиба.)

6.

На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на левом рисунке. После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке справа. Могло ли колес быть: а) три; б) два?

7.

Из квадратного листа бумаги сложили треугольник (см. рисунки). Найдите отмеченный угол.