МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 10 (21 ноября 2015 года). Делимость

1.

Из утверждений «число a делится на 2», «число a делится на 4», «число a делится на 12» и «число a делится на 24» три верных, а одно неверное. Какое?

2.

В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

3.

Петя заметил, что если из числа вычесть сумму его цифр, то получится число, кратное 9. Почему так получается? Сформулируйте и докажите признак делимости на 9 и 3.

4.

Вася нашел, чему равно число 100! = 1·2·3·...·99·100, и сложил его цифры. Затем он сложил цифры получившегося числа и так далее, пока не получилось однозначное число. Что это за число?

5.

Разряды числа занумеровали слева на право. После чего к числу прибавили сумму цифр в чётных разрядах и отняли сумму цифр в нечётных. Докажите, что полученное число делится на 11. Сформулируйте и докажите признак делимости на 11.

6.

Известно, что натуральное число n в 3 раза больше суммы своих цифр. Докажите, что n делится на 27.

7.

Может ли число, сумма цифр которого равна 2001, быть квадратом целого числа?

8.

Два восьмизначных числа отличаются перестановкой цифр. Может ли их разность быть равной 20072008?

9.

Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2013?

10.

После урока Олег поспорил с Сашей, уверяя, что он знает такое натуральное число m, что число \(\dfrac{m}{3}+\dfrac{m^2}{2}+\dfrac{m^3}{6}\) — нецелое. Прав ли Олег? И если прав, то что это за число?

11.

Докажите, что число 1¹⁹⁹⁹ + 2¹⁹⁹⁹ + ... + 16¹⁹⁹⁹ делится на 17.