МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 22 (9 апреля 2016 года)

1.

Барон Мюнхгаузен, вернувшийся из кругосветного путешествия, рассказывает, что по пути он пересёк границы Трапезундии 13 раз. Верите ли вы ему?

2.

Имеется угольник с углом в 70°. Как построить с его помощью угол в 40°?

3.

Перед гномом лежат три кучки бриллиантов: 4, 5 и 6 штук. В одной из кучек лежит один фальшивый бриллиант. Все бриллианты имеют одинаковый вид, все настоящие бриллианты весят одинаково, а фальшивый отличается от них по весу. У гнома есть чашечные весы без гирь. Гному надо за одно взвешивание найти какую-нибудь одну кучку, в которой все бриллианты наверняка настоящие. Как это сделать?

4.

Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад. Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных по 20 раз?

5.

Во дворе живёт 101 кот. По ночам они лазят в молочную лавку воровать сметану. Все вместе они в вылазках ни разу не участвовали, а каждые двое встречались в вылазках ровно по разу. Докажите, что один из котов участвовал не менее, чем в 11 различных вылазках.

6.

Мудрецу A сообщили сумму трёх натуральных чисел, а мудрецу B — их произведение.
— Если бы я знал, — сказал A, — что твоё число больше, чем моё, я бы сразу назвал три искомых числа.
— Мое число меньше, чем твоё, — ответил B и назвал искомые числа.
Какие числа назвал П.?

7.

Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?