МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 5 (17 октября 2015 года). Допустим, что ящик открыт

1.

Можно ли разложить 44 шарика по 9 коробкам так, чтобы количество шариков в разных коробках было различным?

2.

Найдутся ли такие три натуральных числа, что сумма каждых двух из них — степень тройки?

3.

С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли из 1 получить 74?

4.

Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

5.

По кругу записаны 7 натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое. Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же свойством.

6.

Одиннадцать мальчиков и одиннадцать девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из них оба соседа — мальчики.

7.

На контрольной работе учитель дал пять задач и ставил за контрольную оценку, равную количеству решённых задач. Все ученики, кроме Пети, решили одинаковое число задач, а Петя — на одну больше. Первую задачу решили 9 человек, вторую — 7 человек, третью — 5 человек, четвёртую — 3 человека, пятую — один человек. Сколько четвёрок и пятерок было получено на контрольной?

8.

Целочисленные точки на прямой покрашены в красный и синий цвет. Докажите, что найдётся отрезок, у которого оба конца и середина покрашены в один цвет.

9.

В вершинах куба расставлены цифры 1, 2, ..., 8. Докажите, что есть ребро, цифры на концах которого отличаются не менее, чем на 3.

10.

Каждый из голосующих на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии 10 кандидатов. На избирательном участке находится 11 урн. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит хотя бы один бюллетень и при всяком выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.