МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 3 (3 октября 2015). Раскраска

1.

Можно ли шахматную доску 8×8 с вырезанными левой нижней и правой верхней угловыми клетками распилить на доминошки 2×1?

2.

На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая ее по столу через ребро, добиться того, чтобы она оказалась на прежнем месте, но а) рубашкой вверх; б) рубашкой вниз и вверх ногами?

3.

Отметьте на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

4.

Пространственный лабиринт состоит из 27 кубических комнат, расположенных в виде куба 3×3×3. Из любой комнаты можно перейти в любую соседнюю (через любую стену, пол или потолок). Исследователь лабиринта находится в центральной комнате. Он хочет обойти лабиринт, побывав в каждой комнате ровно по одному разу. Удастся ли ему это?

5.

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две разноцветные точки на расстоянии 1 м.

6.

Раскраска географической карты называется правильной, если любые два соседних государства окрашены в разные цвета. Страны, не имеющие общего участка границы, могут быть покрашены в один цвет. а) Верно ли, что для правильной раскраски любой карты достаточно трёх цветов? б) А хватит ли трёх цветов, если все страны имеют форму треугольников?

7.

Раскрасьте плоскость в 3 цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более, чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован.