МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 20 (26 марта 2016 года)

1.

Фигура «верблюд» ходит по доске 10×10 ходом типа (1,3) (то есть она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем сдвигается еще на три поля в перпендикулярном направлении; конь, например, ходит ходом типа (1,2)). Можно ли пройти ходом «верблюда» с какого-то исходного поля на соседнее с ним?

2.

Даны отрезки длин \(a\) и \(b\). Как с помощью циркуля и линейки построить отрезок \(\sqrt{ab}\)?

3.

Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 24 карточки, пронумерованные числами от 1 до 24. Он выбирает из них 13 карточек и передает первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 11 карточек и, перемешав, передает эти три карточки второму фокуснику. Каким образом фокусники могут договориться так, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трех карточек добавил зритель?

4.

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1×4 и 2×2. Плитки высыпали из коробки, и одна плитка 2×2 потерялась. Ее заменили на плитку 1×4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.

5.

В пробирке находятся марсианские амебы трех типов A, B и C. Две амебы любых двух разных типов могут слиться в одну амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амеба. Каков ее тип, если исходно амеб типа A было 20 штук, типа B — 21 штука, и типа C — 22 штуки?

6.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠ABC = 90°, ∠BAC = ∠CAD, AC = AD, DH — высота треугольника ACD. В каком отношении прямая BH делит отрезок CD?

7.

Разделите циркулем и линейкой отрезок на 6 равных частей, проведя не более 8 линий (прямых, окружностей).