МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 4 (10 октября 2015 года). Птицы в клетках

1.

У птицелова есть 15 клеток. Он поймал 46 соловьев, и хочет рассадить их по клеткам так, чтобы в каждой сидело не более трёх соловьев. Удастся ли ему это сделать?

2.

В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки ровно одного сорта. Обязательно ли найдутся ли 9 ящиков одного сорта?

3.

Обязательно ли среди двадцати пяти монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей найдётся семь монет одинакового достоинства?

4.

В ковре размером 4×4 метра моль проела 15 дырок. Всегда ли можно вырезать коврик размером 1×1, не содержащий внутри дырок? (Дырки считаются точечными).

5.

Можно ли расставить в клетках таблицы a) 3× 3 б) 6× 6 числа −1, 0, 1 так, чтобы все суммы чисел по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были различны?

6.

Имеется 101 пуговица одного из 11 цветов. Докажите, что среди этих пуговиц найдутся либо 11 пуговиц одного цвета, либо 11 пуговиц разных цветов

7.

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что в любых k коробках (1 ≤ k ≤ 25)лежат шарики ровно k + 1 различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.