МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 9 (14 ноября 2015 года)

1.

Можно ли из 13 кирпичей 1×1×2 сложить куб 3×3×3 с дыркой 1×1×1 в центре?

2.

Докажите, что при любом k ≥ 8 существует многогранник, у которого ровно k рёбер. Существует ли многогранник, у которого ровно 7 рёбер?

3.

Можно ли все рёбра и диагонали правильного 55-угольника раскрасить в 54 цвета так, чтобы рёбра, выходящие из одной вершины, были разного цвета?

4.

Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

5.

В компании из семи мальчиков каждый имеет среди остальных не менее трёх братьев. Докажите, что все семеро — братья.

6.

Докажите, что в плоском графе обязательно найдется вершина, степень которой не превосходит 5.

7.

Каждое ребро полного графа с 11 вершинами покрашено в один из двух цветов: красный или синий. Докажите, что либо красный, либо синий граф не является плоским.