МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок для старшеклассников, не участвовавших ранее в математических кружках

Занятие 19 (19 марта 2016 года)

1.

На доске написаны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?

2.

Разделите пополам данный отрезок, если есть а) линейка и циркуль; б) линейка и сломанный циркуль, позволяющий изображать окружность только одного радиуса, причём этот радиус меньше половины отрезка.

3.

Можно ли при сечении куба плоскостью получить а) правильный треугольник; б) правильный семиугольник; в) правильный пятиугольник; г) правильный шестиугольник?

4.

Мышонок ест куб сыра 3×3×3, съедая за один присест один кубик 1×1×1. После того, как кубик съеден, мышонок переходит к соседнему с ним по грани кубику. Может ли он съесть весь сыр без центрального кубика?

5.

На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?

6.

Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?

7.

Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.