МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 15 (15 февраля 2014 года)

1.

Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, при этом профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?

2.

Разрежьте квадрат 6×6 на трёхклеточные уголки так, чтобы никакие два из них не образовывали прямоугольника 2×3.

3.

Планета «Куб» имеет форму куба, каждой гранью которого правит либо правдивый, либо лживый король. Однажды каждый король заявил, что правители большинства сопредельных с его владениями граней лживы. Сколько было лживых королей на самом деле?

4.

На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырёх боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Что написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

5.

В турнире участвовали пять шахматистов. Известно, что каждый сыграл с остальными по одной партии и все набрали разное количество очков; занявший 1-е место не сделал ни одной ничьей; занявший 2-е место не проиграл ни одной партии; занявший 4-е место не выиграл ни одной партии. Определите результаты всех партий турнира. (Победителю партии присуждается 1 очко, проигравшему — 0. В случае ничьей оба игрока получают по ¹/₂ очка.)

6.

Король дал двум своим мудрецам задание: «Завтра на каждого из вас наденут либо белый, либо чёрный колпак, и каждому вручат две таблички — белую и чёрную. Вы увидите только колпак товарища, но не сможете обмениваться никакой информацией. По команде вы одновременно поднимете одну из табличек. Испытание будет пройдено, если хотя бы у одного из вас цвет колпака совпадёт с цветом поднятой им таблички». У мудрецов есть ровно сутки, чтобы придумать, как справиться с головоломкой короля. Могут ли они гарантированно пройти испытание?

Дополнительные задачи

7.

Можно ли расставить на рёбрах куба числа от 1 до 12 так, чтобы все суммы чисел на гранях были одинаковыми?

8.

Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 24 карточки, пронумерованные числами от 1 до 24. Он выбирает из них 13 карточек и передаёт первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 11 карточек и, перемешав, передаёт эти три карточки второму фокуснику. Как фокусникам договориться, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трёх карточек добавил зритель?

9.

Найдите сумму всех девятизначных чисел, в записи которых участвуют все цифры, кроме нуля.