МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 11 (30 ноября 2013 года)

1.

Запах от цветущего кустика ландышей распространяется в радиусе 20 м вокруг него. Сколько цветущих кустиков ландышей необходимо посадить вдоль прямолинейной километровой аллеи, чтобы по всей её длине пахло ландышем?

2.

Есть маленькие песочные часы на три минуты и большие — на десять. Можно ли при помощи этих часов сварить яйцо, если для этого его требуется {\em непрерывно} варить: а) ровно 19 минут, б) ровно 7 минут, в) ровно 4 минуты, г) ровно 5 минут, д) ровно 28 минут. (Песок все время сыпется с постоянной скоростью. На переворачивание время не тратится. В какой момент начать варить яйцо, мы выбираем сами.)
е) Докажите, что с помощью этих часов можно отмерить любое целое число минут.

3.

Есть набор палочек: 6 штук по 1 см, 3 штуки по 2 см, 6 штук по 3 см и 5 штук по 4 см. Можно ли сложить из них квадрат? (Нужно использовать все палочки, ломать их или накладывать одну на другую нельзя.)

4.

В коробке лежат костяшки домино (см. рисунок). Как расположены кости?

5.

В какой из нарисованных ниже фигурок больше клеточек?

6.

Кое-кто в классе смотрит футбол, кое-кто — мультики, но нет таких, кто не смотрит ни то, ни другое. У любителей мультиков средний балл по математике меньше 4, у любителей футбола  — тоже меньше 4. Может ли средний балл всего класса по математике быть больше 4?

Дополнительные задачи

7.

Докажите, что числа от 1 до 16:

а)

можно записать в строку так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа;

б)

нельзя записать по кругу с соблюдением того же условия.

8.

В наборе есть 31 палочка длиной 1 см, 2 см, ..., 31 см. Виталик собирает из палочек контур квадрата, после чего выкидывает эти палочки. Из оставшихся палочек собирает новый квадрат, и так далее. Какое наибольшее число квадратов удастся собрать Виталику?

9.

Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?