МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 6 (26 октября 2013 года)

1.

— У Вовы больше тысячи книг, — сказал Ваня.
— Нет, книг у него меньше тысячи, — возразила Аня.
— Одна-то книга у него наверняка есть, — сказала Таня.
Сколько книг может быть у Вовы, если истинно ровно одно из этих утверждений?

2.

а)

Можно ли сложить бумажный квадрат так, чтобы затем одним взмахом ножниц разрезать его на 4 квадратика?

б)

А на 9 квадратиков?

3.

В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один — груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей может быть в корзине?

4.

У Пети есть площадка 3×5. Он хочет поставить на неё несколько кубиков с ребром 1 так, чтобы виды спереди и сбоку были такими, как на рисунке. Петя хочет оставить побольше кубиков для других сооружений.

а)

Поставьте таким образом как можно меньше кубиков.

б)

Каково наименьшее возможное число кубиков?

Примечание

Примечание. Пункт «а» можно было сдавать несколько раз, постепенно улучшая результат (расставляя меньшее число кубиков с соблюдением условия). Каждое продвижение отмечалось в специальной таблице на листочке, а плюсик ставился только за решение пункта «б»: предъявление наилучшей расстановки кубиков и доказательство, что меньшим их количеством не обойтись.

5.

В каждой клетке доски 4×4 лежит слива. Уберите 6 слив так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке осталось чётное число слив.

Дополнительные задачи

6.

В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

7.

Можно ли из пяти попарно различных квадратов сложить прямоугольник?