МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год

Версия для печати

Листок 20. Вторая регата.

1.
Как изменится площадь прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 10%, а другую — уменьшить на 10%?
Ответ. Уменьшится на 1%.
Решение.
Пусть стороны прямоугольника были равны a и b. Его площадь при этом была равна S1 = ab. После увеличения стороны стали равны 1.1a и 0.9b. Новая площадь равна S2 = (1.1a)(0.9b) = 1.1×0.9ab = 0.99S1 = S1 − 0.01S1. Мы получили, что новая площадь получается из старой вычитанием величины 0.01S1, но эта величина есть 1% от S1, то есть новая площать на 1% меньше старой.
2.
Вася влил стакан кислоты в банку с водой. Получился 10-процентный раствор кислоты в воде. Потом он добавил ещё один такой же стакан кислоты. Какой раствор получился?
Ответ. Отношение кислоты к воде будет равно 2:9, то есть доля кислоты в растворе 2/11.
Решение. После первого вливания в банке оказался 10-процентный раствор, то есть на 9 частей (90%) воды приходилась одна часть (10%) кислоты. Потом к имеющейся жидкости добавили столько же кислоты, сколько в первый раз, то есть ещё одну часть. Получили 9 частей воды и 2 части кислоты. Доля кислоты в таком растворе равна
2=2
2 + 911
3.
Найдите минимальное целое число, большее 40 100 и являющееся точным квадратом (другого целого числа).
Ответ. 201² = 40 401.
Решение. Во-первых заметим, что данное число близкó к числу 40 000, которое является квадратом числа 200. Следующий точный квадрат — это число 201². Проверим, больше оно, чем 40 100, или меньше. Вычисление даёт 201² = 40 401, то есть оно больше 40 100 и даёт ответ задаче.
4.
Нарисуйте фигуру из 11 точек и нескольких отрезков между ними, так чтобы каждая точка была соединена ровно с двумя другими.
5.
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 8×6 (8 столбцов, 6 строк). Можно ли поставить в нём крестики, чтобы в каждой строке стояло 3 крестика, а в каждом столбце — 2?
Ответ. Нельзя.
Решение. Подсчитаем общее количество крестиков в таблице. С одной стороны оно равно произведению количества строк на количество крестиков в каждой строке: 6×3 = 18. С другой стороны его можно вычислить, как произведению количества столбцов на количество крестиков в каждом столбце: 8×2 = 16. Как видим, получились разные числа. Это противоречие, так как количество крестиков в таблице не должно зависеть от способа подсчёта. Значит, такая расстаноква невозможна.
6.
В строчку написано 10 чисел, причём сумма любых последовательных трёх чисел равна 15. Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число (все варианты)?
Решение. Пусть есть ряд чисел:
7?1?2?3
Пока мы знаем только первое число. Выяснять, что стоит на каждом месте не будем, определим только числа в позициях, отмеченных вопросом. По условию
7 + + = 15 = + + ?1.
Сумму + можно в обеих частях сократить: 7 = ?1, получаем ряд
77?2?3
Так же поступим и со следующим вопросиком:
7 + + = 15 = + + ?2.
Сокращаем + : 7 = ?2. На этом месте опять стоит семёрка!
777?3
Аналогично имеем
7 + + = 15 = + + ?3.
После сокращения + вновь получаем 7 = ?3:
7777
7.
Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab=2, bc=3, cd=4, de=5. Чему равно e/a?
Решение.
e= de= bde= bcde= (bc)·(de)= 3 · 5=15
aadabd abcd(ab)·(cd) 2 · 48
8.
Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол?
9.
Найдите положительное целое число n, если известно, что (n+2)(n+3)(n+5)(n+7) = 4158.
Решение. Сначала разложим число 4158 на простые множители:
4158 = 2 · 3³ · 7 · 11.
Теперь надо из его делителей составить 4 числа, два из которых идут подряд ((n+2) и (n+3)), следующая пара даёт скачёк в 2 единицы (от (n+3) до (n+5)), а последние два снова дают скачок на 2 единицы (от (n+5) до (n+7)). Между 7 и 11 разница равна 4. Это может быть пара (n+3) и (n+7), надо из оставшихся чисел составить (n+2)=6 и (n+5)=9. Это действительно можно сделать. Достаточно положить (n+2)=6=2·3, а (n+5)=9=3³. Чтобы все эти равенства:
  • n + 2 = 6;
  • n + 3 = 7;
  • n + 5 = 9;
  • n + 7 = 11;
были выполнены, надо положить n = 4.
10.
Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби 11/41, чтобы её значение стало равно 3/8?
Решение. Обозначим это число x. Получаем:
11 + x=3
41 + x8
(11 + x)8 = (41 + x)3;
88 + 8x = 123 + 3x;
(8 − 3)x = 123 − 88;
5x = 35;
x = 7.
11.
На прямой дороге стоят шесть домов. В каком месте дороги надо построить автобусную остановку, чтобы сумма растояний от неё до этих домов была минимальной?
6 домов в ряд
12.
Среди утверждений «x > 1», «x > 2», «x > 3», «x > 4», «x > 5» три верных и два неверных. Какие?
Ответ. Первые три верны, последние два ложны.
Решение.

Если последнее утверждение верно, x больше пяти, и все остальные утверждения о том, что x больше одного, двух и так далее тоже окажутся верны автоматически. В этом случае нам не удастся выбрать два неверных утверждения из нашего набора. Значит последнее утверждение ложно.

Аналогично, если предпоследнее утверждение верно, то оно разрешит быть ложным только одному утверждению — последнему, а остальные заставит выполниться. Неверных утверждений опять не достаточно, значит предпоследнее утверждение ложно.

Теперь мы уже набрали нужное нам количество ложных утверждений. Остальные должны быть верными. Это произойдёт, например, при x = 3½.

Ответ: первые три верны, последние два ложны.

13.
Аппарат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разделил его на два больших квадрата, три квадрата поменьше и пять маленьких квадратов со стороной 1. Какой прямоугольник у него был?
Ответ. 37 × 16.
14.
Каждая клетка доски 50×50 покрашена в один из четырёх цветов: белый, синий, красный, зелёный. Клетки одного цвета не имеют общих сторон и общих углов. Сколько красных клеток?
Решение. Разделим доску на квадраты 2×2. В одном таком квадрате каждая клетка соседствует с каждой (либо по горизонтали, либо по вертикали, либо по диагонали), значит в каждом квадрате все клетки раскрашены по-разному. Отсюда получаем, что каждым цветом, в том числе и красным, окрашена ровно четверть клеток: 50·50/4 = 25×25 = 625. Для полноты решения надо доказать, что такая раскраска возможна:
То есть раскрасим все полученные квадраты 2×2 одинаково:
15.
Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут со скоростью более медленного (то есть мама с малышом перейдут мост за то же время, что и малыш один). Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидать фонарик тоже нельзя.)
Ответ.
Прошло времениВремя на шаг 
22Папа с мамой идут через мост
31Папа несёт фонарик обратно
1310Малыш и бабушка переходят мост
152Мама несёт фонарик обратно
172Папа с мамой идут через мост
16.
Можно ли одним прямолинейным разрезом поделить на равные части прямоугольный кусок хлеба и лежащий на нём круглый кусок колбасы?
круг внутри прямоугольника (в произвольном месте)
Решение. Надо провести прямую через центры круга и прямоугольника.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS