МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год

Версия для печати

Листок 11. Задом наперёд

1.
На озере расцвела белая лилия. Каждый день число её цветков удваивалось, а на 20-й день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?
Ответ. На 19-й.
2.
За булочками в столовой выстроилась очередь. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все ещё не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояли в очереди первоначально?
Ответ. 22 человека.
3.
Предложил чёрт лодырю: «Всякий раз, как перейдёшь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 40 рублей.» Трижды перешёл лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лодыря первоначально?
Ответ. 35 рублей.
Решение. После третьего прохода по мосту и расчёта с чёртом денег у лодыря не осталось, чёрту он отдал 40 рублей, значит ровно 40 рублей у него было после прохода по мосту. А значит перед третьим проходом, то есть до удвоения, у него было 20 рублей. Эти 20 рублей лодырь получил после второй выплаты чёрту 40 рублей, поэтому до этой выплаты было (20 + 40) = 60 рублей, а эти 60 рублей появились после второго прохода по мосту, значит до второго прохода у лодыря было 60/2 = 30 рублей. До первого расчёта с чёртом — 30 + 40 = 70 рублей, а до перевого удвоения — 70/2 = 35 рублей.
4.
Над цепочкой озёр летели гуси. На каждом садилась половина подлетевших к этому озеру гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озёрах. Сколько было гусей?
Ответ. 127 гусей.
5.
За круглым столом сидят A, B, C, D. У каждого из них есть по несколько яблок. Сначала A дал каждому из остальных по столько яблок, сколько тот уже имел (тем самым удвоив число яблок у всех, кроме себя). После этого B сделал то же самое, и так далее до D. После этого у всех оказалось по 32 яблока. Сколько у кого было яблок в начале?
Решение. Задачу проще всего решить, проделав операции с яблоками в обратную сторону. Сначала у каждого по 32 яблока, затем D забирает у каждого половину его яблок. Эта операция действительно обратна к той, что описана в условии задачи, так как в результате операции из условия у всех, кроме D, количество яблок удваивается, а в результате этой операции оно в два раза уменьшается. Потом то же самое делает C, затем B и, наконец, A:
 ABCD
0.32323232
1.16161680
2.887240
3.4683620
4.66341810
Значит в начале количество яблок было таким:
ABCD
66341810
6.
a)
Взяли число, прибавили к нему 50, умножили на 3, вычли 100 да разделили пополам. Получилось 55. Какое число было?
Решение. Будем проводить действия в обратном порядке. Возьмём результат (55). Умножим на 2 (110), прибавим 100 (210), разделим на 3 (70) и вычтем 50. Получилось 20.
b)
Взяли число, прибавили к нему 50, умножили на 3, вычли 100, разделили пополам, вычли первоначальное число, а потом вычли половину первоначального числа. Сколько получилось?
Решение. Пусть произвольное число, с которого начались вычисления — x. К нему прибавили 50, получили (x + 50), затем умножили на 3, получили 3(x + 50). Потом из этого числа вычли 100. Получилось
3(x + 50) − 100 = 3x + 150 − 100 = 3x + 50
Далее, разделили пополам:
3x + 50
2
После чего вычли первоначальное число (x)
3x + 50x
2
И, наконец, вычли половину первоначального числа, то есть x/2:
3x + 50xx= 3x + 503x =3x + 50 − 3x =50= 25
222222
7.
Расставьте различные натуральные числа в таблицу размером 2×3 (2 строки, 3 столбца) так, чтобы произведения в столбцах были равны, и суммы в строках тоже были равны (но суммы могут отличаться от произведений).
Ответ. У этой задачи очень много решений. Вот некоторые из них:
21520
3043
41012
1565
112233
361812
Решение. Решать эту задачу подбором довольное сложно, так как придётся перебирать сразу 6 чисел. С другой стороны существует не очень сложное решение, в котором подбор почти не используется. В этом решении главное — не бояться.

Итак, смело вводим шесть неизвестных (по одной на каждую ячейку). Таблица имеет вид

abc
xyz
Заметим следующее: если каждую ячейку таблицы умножить на произвольное число, то опять получится допустимое решение. Например, умножим её на 2:
2a2b2c
2x2y2z
Используя, что (2a)·(2x) = 4ax, получаем, что если ax = by = cz, то и (2a)·(2x) = (2b)·(2y) = (2c)·(2z).

То же самое и для суммы (2a + 2b + 2c) = 2(a + b + c), (2x + 2y + 2z) = 2(x + y + z). Если были равны исходные суммы, то будут равны и удвоенные. То же самое можно сказать и о делении всех ячеек на одно число.

Теперь начнём процесс уменьшения количества неизвестных. Сначала, разделим все ячейки на a:

1b/ac/a
x/ay/az/a
Произведём замену неизвестных b'=b/a, c'=c/a, … z'=z/a, Получаем такую таблицу:
1b'c'
x'y'z'
Возвращаться к переменным без штрихов мы не собираемся, поэтому далее эти штрихи писать не будем. Как видим, не решив ни одного уравнения, мы уже избавились от одного неизвестного. Теперь мы видим, что произведение в каждом столбце равно x. Это позволяет избавиться и от неизвестных y и z, вписав в ячейки явное их выражение через x:
1bc
xx/bx/c
Сейчас подготовительные шаги завершены, и нам надо всё-таки немножко воспользоваться перебором. Впрочем, перебор будет в одну попытку: смело (опять нужна отвага!) полагаем b = 2, c = 3. Это самый очевидный выбор двух произвольных неравных чисел, при условии, что единицу использовать нельзя (иначе мы бы получили повтор с верхней левой ячейкой). Талица превращается в
123
xx/2x/3
Условие на произведения автоматически выполнено, надо дожать только сумму:
1 + 2 + 3 = x + x/2 + x/3
6 = x(1 + 1/2 + 1/3)
6 = 11/6x
x = 36/11
Подставим найденное значение x в таблицу:
123
36/1118/1112/11
Эта таблица ещё не удовлетворяет требованиям задачи, так как там требовалось заполнить таблицу натуральными числами. Однако, мы помним, что таблицу можно умножать на произвольные числа. Домножим же её на 11:
112233
361812
Это и есть один из вариатов решения.
8.
Для поправки здоровья богатырю надо отпить из молочной реки ровно 43 литра. У богатыря есть два ведра вместимостью 24 и 11 литров соответственно и достаточно большая бочка. Сможет ли он поправить свое здоровье?
Решение. Самая простая для богатыря последовательность действий такая: сначала наливаем в бочку 5 больших вёдер молока (5 × 24 = 120), потом вычёрпываем из бочки 7 маленьких вёдер. Там останется 120 − 7×11 = 120 − 77 = 43 литра. Однако, сразу угадать такую последовательность довольно трудно. Поэтому поступим так: сначала наберём в бочку 24 + 11 = 35 литров. Затем, добавим в неё 4 раза по 2 литра. 2 литра можно добавить следующим образом: наливаем 24 литра и 2 раза вычёрпываем 11. 24 − 2×11 = 2.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS