МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год

Версия для печати

Домашняя олимпиада №1

1.
Для постройки дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. Количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать ещё 2 подъезда и добавить ещё 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в исходном проекте? (Во всех подъездах одинаковое число этажей, на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.)
Ответ. Могло.
Решение.

Для простоты счёта положим, что в доме на каждом этаже в каждом подъезде одна квартира. Пусть сначала было 4 этажа и 5 подъездов (4·5 = 20 квартир). После первого изменения стало (5 + 2) = 7 этажей и (5 − 2) = 3 подъезда (7·3 = 21 квартира). После второго — (7 + 2) = 9 этажей и (3 − 2) = 1 подъезд, то есть 9·1 = 9 квартир, что намного меньше, чем исходное число квартир 20.

Ответ: Могло.

2.
На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым, если a) части обязательно должны быть одинаковыми, b) разрешено делать части любого размера?
Ответ. a) на 12 частей, b) на 6 частей.
3.
После 7 стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?
Ответ. На одну.
4.
Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и произведение равны 20.
Ответ. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 10.
5.
Купец везёт деньги из пункта A в пункт B. На дорогах водятся разбойники, на каждой дороге они забирают у проезжающих какую-то часть денег, имеющихся у тех в данный момент. Какую именно, показано на рисунке. Как должен ехать купец, чтобы довести как можно бóльшую часть денег в пункт B? Сколько существует оптимальных путей? Какую часть денег он довезёт?
Ответ. Он довезёт 36.288% начальной суммы, существует 4 оптимальных путя, один из них указан на рисунке.
6.
Над цепью озёр летела стая белых гусей. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озёрах. Сколько гусей было в стае?
7.
Разрежьте фигурку «рыбка» на две равные части.
8.
С помощью чисел 1, 3, 4 и 6 (каждое использовать 1 раз) и действий сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень нет, операции можно использовать, как угодно, склеивать цифры в числа нельзя) выразить число 24.
Ответ.
6
1 − 3
4
9.
Антон перемножил все натуральные числа от 1 до своего возраста. Получилось число 8 841 761 993 739 701 954 543 616 000 000. Сколько Антону лет?
10.
Матч в футбол между командами Кардиналы Аризоны и Пантеры Каролины закончился со счётом 20:24. Докажите, что во время матча был такой момент, когда выигравшей команде осталось забить сколько голов, сколько уже забили ей.
Решение. Рассмотрим сумму очков, которые набрали обе команды. В начале игры она равна нулю и с каждым голом увеличивается ровно на 1. Значит в течение игры эта сумма принимала значения 1, 2, 3, … 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, … 44 (= 20 + 24). Ни одно из значений не могло быть пропущено!

Рассмотрим момент, когда эта сумма была равна 24. Пусть выигравшей команде Пантеры Каролины в этот момент было забито k голов. Тогда сама эта команда забила (24 − k) голов. До своего финального количества очков 24 ей осталось набрать

24 − (24 − k) = k очков.

Именно а этот момент количество голов, которое этой команде уже забили (k) равно количеству голов, которое осталось забить ей (тоже k).

11.
Света и Аня по очереди слева направо пишут цифры четырёхзначного числа. Первую — Света, вторую — Аня, третью — Света, четвёртую — Аня. Если полученное число делится a) на 9 b) на 11 c) на 12, то выиграет Аня, иначе — Света. У кого — Светы или Ани — есть выигрышная стратегия?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS