МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 9. Математическая регата

Первый тур

1.1

Купец купил товар за 7 золотых и продал его за 8. Потом он увидел, что в другом месте за этот товар дают 10 золотых, снова выкупил его за 9 и продал за 10. Какова его прибыль?

Ответ Решение

Ответ. 2 золотых.

Решение. Для купца совершенно не важно, тот же самый товар выкупается или другой. Здесь мы имеем две не связанные друг с другом сделки: «купили за 7, продали за 8» и «купили за 9, продали за 10». От каждой выигрыш равен одному золотому. Значит общая прибыть 2 золотых.

1.2

Два игрока по очереди ставят ладьи на шахматное поле. Ставить на поле, которое бьет одна из поставленных ранее фигур, запрещено. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто победит?

Ответ

Ответ. Второй игрок победит.

1.3

Взяли три равных числа, первое из них уменьшили на 1%, второе уменьшили на 20%, после чего сумму второго и третьего увеличили на 10% и сложили с первым. На сколько процентов и в какую сторону полученное число отличается от суммы трех исходных чисел?

Ответ Решение

Ответ. Меньше на 1%.

Решение. Пусть все три числа сначала равны x.

i	ii	iii
x	x	x

Первое уменьшают на 1%, то есть умножают на 0.99, а второе уменьшают на 20%, то есть умножают на 0.8:

i	ii	iii
0.99x	0.8x	x

Сейчас сумма второго и третьего равна (0.8x + x). Её увеличивают на 10%, то есть умножают на 1.1. Она становится равна 1.1(0.8x + x). И складывают с первым числом (новое значение которого сейчас 0.99x): 1.1(0.8x + x) + 0.99x = 0.99x + 0.88x + 1.1x =
= 9·0.11x + 8·0.11x + 10·0.11x = (9 + 8 + 10)0.11x = 27·0.11x = 2.97x Исходное значение суммы трёх чисел равно 3x. Новое значение меньше. Выясним, на сколько процентов. Разница между числами равна 3x − 2.97x = 0.03x. Она составляет ^0.03x/_3x×100%=1% от исходной суммы.

Ответ: меньше на 1%.

Второй тур

2.1

На какое максимальное число различных прямоугольников с целыми сторонами можно разрезать квадрат 5×5?

Ответ

Ответ. 7

2.2

Есть три комнаты, на каждой из них — по табличке. Только на одной из табличек — истинное утверждение, на остальных — ложные. Кроме того, в одной из комнат сидит принцесса, а в двух других — тигры. Требуется определить, в какой комнате принцесса. Утверждения на табличках следующие:

1. В этой комнате сидит тигр
2. В этой комнате — принцесса
3. Тигр сидит во второй комнате

Ответ

Ответ. Принцесса в первой комнате.

2.3

На столе лежат 15 спичек. Два игрока по очереди берут со стола спички, причем за один раз разрешается брать 1, 2 или 3 спички. Кто из них выиграет?

Ответ

Ответ. Выиграет первый игрок.

Третий тур

3.1

Есть три бочонка объемом по 8, 5 и 3 литра. Бочонок объемом 8 литров доверху наполнен квасом, а два других бочонка пусты. Требуется разделить квас ровно пополам. Как это сделать?

Решение

Решение.

1 (8 литров)	2 (5 литров)	3 (3 литра)	Действие
8	0	0	из первого во второй
3	5	0	из второго в третий
3	2	3	из третьего в первый
6	2	0	из второго в третий
6	0	2	из первого во второй
1	5	2	из второго в третий
1	4	3	из третьего в первый
4	4	0	ура!

3.2

В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидело 10 человек, то свободными были 6 сидений. Сколько сидений в автобусе?

Ответ

Ответ. 16 сидений.

3.3

Джон и Мэри живут в небоскребе, на каждом этаже которого 10 квартир. Номер этажа Джона равен номеру квартиры Мэри, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой квартире живет Джон?

Ответ

Ответ. Джон живет в квартире №217 на 22 этаже.

Четвертый тур

4.1

Как составить сумму в 99 копеек из 22 монет по 2, 3 и 5 копеек?

Ответ

Ответ. 99 = 18×5 + 1×3 + 38×2
18 + 1 + 3 = 22

4.2

В некоторой стране есть 100 городов, и все они пронумерованы цифрами от 1 до 100. Известно, между двумя городами есть дорога только в том случае, если сумма их номеров делится на 5. Каков максимальный номер города, в который мы можем попасть из города с номером 8?

Ответ

Ответ. 98.

4.3

Может ли число, состоящее только из четвёрок (число 44…4) быть делителем числа, состоящего только из троек (число 33…3). А наоборот?

Решение

Решение.

Не может, так как 44…4 — чётное число, а 33…3 — нет.

Наоборот быть может. Например, 3 является делителем числа 444.

Кстати, этот пример не единственный. 444444444444 делится на 3333.