МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Листок 16. Неравенства. Больше — меньше

1.

a)

Все стороны треугольника меньше 0.1. Может ли его площадь быть больше 10?

Ответ

Ответ. Не может

b)

Все стороны треугольника больше 10. Может ли его площадь быть меньше 0.1?

Ответ Решение

Ответ. Может

Решение. Как ни странно, такой треугольник существует. Треугольник можно сделать очень длинным, но при этом очень плоским, так что площадь будет маленькой. Например треугольник со сторонами 10.01, 10.01 и 20.01999999 имеет площадь приблизительно равную 0.0007.

2.

a)

Сумма нескольких положительных чисел больше 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0.01?

Ответ Решение

Ответ. Может

Решение. Возьмём 1001 раз число 0.001. 0.001²=0.000001. Сумма 1001 числа, каждое из которых равно 0.000001 — это произведение 0.000001×1001 = 0.001 + 0.000001 = 0.001001 < 0.01.

b)

Сумма нескольких положительных чисел меньше 1. Может ли сумма их квадратов быть больше 100?

Ответ Решение

Ответ. Не может

Решение. Раз сумма меньше 1, значит каждое число меньше 1. При возведении в квадрат число, меньшее 1 уменьшается. Значит в сумме уменьшилось каждое слагаемое, а значит и сама сумма уменьшилась.

3.

a)

Сумма двух положительных чисел меньше 0.01. Может ли произведение этих чисел быть больше 100?

Ответ Решение

Ответ. Не может

Решение. Раз сумма чисел меньше 0.01, то и каждое число меньше 0.01. Тем более каждое число меньше 1. Произведение двух чисел, меньших 1, меньше 1.

b)

Сумма двух положительных чисел больше 100. Может ли произведение этих чисел быть меньше 0.01?

Ответ Решение

Ответ. Может

Решение. Например, возьмём числа 100 и 0.0000000001.

4.

a)

Стороны прямоугольника увеличили на 100 м. Может ли его площадь увеличится меньше чем на 0.01 м²?

Ответ Решение

Ответ. Не может

Решение. Пусть стороны прямоугольника равны a и b. До увеличения его площадь была равна S₁ = ab. После увеличения стороны стали равны (a + 100) и (b + 100). Новая площадь равна S₂ = (a + 100)(b + 100) = ab + 100a + 100b + 100·100 = ab + 100(a + b) + 100·100. Оценим разность между старой и новой площадью: S₁ − S₂ = ab + 100(a + b) + 100·100 − ab = 100(a + b) + 100·100 > 100·100 = 10 000. На последнем шаге мы выкинули неизвестную, но положительную величину 100(a + b). От этого значение разности немного уменьшилось, но в любом случае мы получили, что эта разность не менее 10 000. Меньше 0.01 она быть не может.

b)

Стороны прямоугольника увеличили на 0.01 м. Может ли его площадь увеличится больше чем на 100 м²?

Ответ Решение

Ответ. Может

Решение. Пусть стороны прямоугольника равны a и b. До увеличения его площадь была равна S₁ = ab. После увеличения стороны стали равны (a + 0.01) и (b + 0.01). Новая площадь равна S₃ = (a + 0.01)(b + 0.01) = ab + 0.01a + 0.01b + 0.01·0.01 = ab + 0.01(a + b) + 0.01·0.01. Оценим разность между старой и новой площадью: S₁ − S₃ = ab + 0.01(a + b) + 0.01·0.01 − ab = 0.01(a + b) + 0.01·0.01 > 0.01(a + b). На последнем шаге мы выкинули положительную величину 0.01·0.01. От этого значение разности немного уменьшилось, Теперь мы должны сделать величину 0.01(a + b) как можно большей. Для этого увеличим значения a и b. Пусть a = 1 000, а b = 1 000 000. Тогда разность (S₁ − S₃) будет больше, чем 0.01(1 000 + 1 000 000) > 10 000 > 100.

5.

a)

Два положительных числа отличаются, более чем на 10. Могут ли их квадраты отличаться менее чем на 0.1?

Ответ Решение

Ответ. Не могут

Решение. Пусть у нас есть числа a и b, которые отличаются более, чем на 10. Будем для определённости считать, что a < b, то есть b − a > 10. Поскольку a положительно, b > 10 + a > 10. b + a > b > 10.

Оценим разность квадратов:

b² − a² = (b − a)(b + a) > 10 · 10 = 100. Значит разность квадратов не меньше ста, тем более она не может оказаться меньше 0.1.

b)

Два положительных числа отличаются менее чем на 0.1. Могут ли их квадраты отличаться более чем на 10?

Ответ Решение

Ответ. Могут

Решение.

Оценим разность квадратов двух положительных чисел a и b:

b² − a² = (b − a)(b + a). По условию разность (b − a) < 0.1, однако сами числа (и их сумма) могут быть весьма велики. Нам нужно сделать так, чтобы разность квадратов стала больше 10. Для этого положим a = 1000, а b = 1000.01 b² − a² = (b − a)(b + a) = 0.01 · 2000.01 = 20.0001 > 10.

6.

a)

Два положительных числа отличаются более чем на 10. Могут ли их квадратные корни отличатся менее чем на 0.1?

Указание Ответ Решение

Указание. Найдите связь этой задачи с предыдущей.

Ответ. Могут

Решение. Перейдём от чисел к их квадратным корням. Получим ситуацию: «Два положительных числа отличаются менее чем на 0.1. Их квадраты отличаются более чем на 10». Это условие похоже на задачу 5b. Возьмём тот же пример, что и в ней:

• Два положительных числа отличаются более чем на 10:
  1000.01² − 1000² > 10
• Их квадратные корни отличатся менее чем на 0.1:
  
  V1000.01² − V1000² = 1000.01 − 1000 = 0.01 < 0.1

Ответ: могут, например 1000.01² и 1000².

b)

Два положительных числа отличаются менее чем на 0.1. Могут ли их квадратные корни отличатся более чем на 10?

Ответ Решение

Ответ. Не могут

Решение. Не могут, иначе мы получили бы пример, опровергающий задачу 5a.

7*.

a)

Все высоты треугольника больше 100. Может ли его площадь быть меньше 1?

Ответ

Ответ. Не может

b)

Все высоты треугольника меньше 1. Может ли его площадь быть больше 100?

Ответ Решение

Ответ. Может

Решение. Нарисуем прямоугольник с высотой 1. Ширину пока не фиксируем, но будем считать, что она достаточно «большая». Проведём в прямоугольнике две диагонали и рассморим равнобедренный треугольник, который образуется ими и нижней стороной. Высота, опущенная на основание равна половине высоты прямоугольника, то есть 0.5, а остальные высоты меньше 1, так как эти высоты должны быть короче вертикальных сторон прямоугольника. Площадь же треугольника равна четверти площади прямоугольника и станет большей 100, если эта ширина больше 400.

8*.

a)

Все медианы треугольника больше 100. Может ли его площадь быть меньше 1?

Указание Ответ

Указание. Задача несколько похожа на задачу 1b.

Ответ. Может

b*)

Все медианы треугольника меньше 1. Может ли его площадь быть больше 100?

Ответ

Ответ. Не может