МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год

Версия для печати

Листок 10. Сравнения

1.
Решите ребусы
a) **** b)   ×***
 ***    **
    *   ***3
указать 3 варианта  *****
        *****3
Решение.
a)  1000   1000   1005
 999  997  996
    1     3     9
b) Решений нет, так как произведение трёхзначного (меньшего 1000) и двузначного числа (меньшего 100) меньше 1000×100 = 100000, то есть не может быть шестизначным. Тройка тут не причём.
2.
Волк и Заяц устроили забег на стадионе. Встав рядом, они одновременно стартовали в одном направлении. Известно, что скорость Волка в 2 раза больше скорости Зайца. Сколько кругов успеет пробежать Заяц до тех пор, пока его снова не догонит Волк?
Ответ. Один
3.
Числитель дроби увеличили на 3, а знаменатель — на 8. Могла ли получиться дробь, равная исходной?
Ответ. Могла! Например
3 3 + 3= 3 × 2= 3
88 + 8 8 × 28
Комментарий. Обозначим первоначальную дробь p/q. После преобразаваний она превратится в p+3/q+8, а наше условие можно записать в виде.
p + 3= p (*)
q + 8 q
Числовые слагаемые нам «мешают», так как сократить на них нельзя. Гороздо проще бы было, если бы вместо 3 и 8 стояли сами p и q:
p + p= 2p=p
q + q 2qq
Но именно это мы получим, если положим p = 3, q = 8:
3 + 3= 3 × 2= 3
8 + 8 8 × 28
Можно также рассмотреть (*) как уравнение. По правилу пропорции получаем
q(p + 3) = p(q + 8)
pq + 3q = pq + 8p
3q = 8p
Левая часть последнего выражения делится на 3, значит правая тоже. 8 на 3 не делится, значит делится p. Имеем p = 3k:
3q = 8·3k
q = 8k
Итак для произвольного числа k можно положить p = 3k, q = 8k. Однако дробь p/q будет сократимой: p/q = 3k/8k = 3/8. Теперь мы доказали, что дробь 3/8 не только удовлетворяет условию задачи, но и является единственной такой несократимой дробью (хотя в задаче этого и не требовалось).
4.
За какое наименьшее количество ходов можно переместить шахматного коня из левой верхней клетки доски 100×100 в правую нижнюю?
Ответ. 66 ходов.
Решение. Самый которкий путь — по диагонали, но конь так ходить не может, поэтому будем шагать как можно к ней ближе и возвращаться как только получится:
Два хода коня эквивалентны трём ходам короля по диагонали. Всего по диагонали нам надо пройди 99 шагов (а не 100, от первой до сотой клетки (100 − 1) шаг). Значит количество шагов будет 99·2/3 = 66.

Теперь надо доказать, что быстрее пройти невозможно. Для этого ход коня представим как движение по вертикали и по горизонтали

За ход конь совершает 3 таких движения. Пройди же ему надо 99 шагов по вертикали и 99 по горизонтали, всего 99 + 99 = 198. Значит количество ходов должно быть не менее 198/3 = 66.
5.
Сумма тринадцати различных натуральных чисел равна 92. Найдите эти числа.
Ответ. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14.
6.
Решите ребус: ***5 : 11 = **.
Ответ. 1045 : 11 = 95.
Решение. Во-первых, перепишем это выражение в виде
** × 11 = ***5
Сразу бросается в глаза то, что произведение двузначного числа на другое довольно маленькое двузначное число — 11 — даёт четырёхзначное число. Самое маленькое четырёхзначное число — 1000. Поэтому будет верным следующее:
** × 11 = ***5 ≥ 1000.
** ≥ 1000 / 11 > 90
А значит ** = 9*. Поскольку произведение оканчивается на 5, то оно делится на 5, а значит один из множителей должен делиться на 5. 11 на 5 не делится, значит 9* (которое больше 90) делится на 5. Единственный вариант — 95. Итак, 95 × 11 = 1045.

Ответ: 1045 : 11 = 95.

7.
И ещё один ребус: УЖ³ = ПИТОН (3 — цифра!).
Ответ. 27³ = 19683.
Решение. Решать эту задачу придётся перебором, но прежде, чем приступить к нему, попробуем, насколько возможно, перебор сократить. Начнём с того, что определим границы, в которых ищем числа: нам нужны двузначные числа, куб которых — пятизначное число. Вычисляем кубические корни из самых маленьких пяти- и шестизначных чисел
³V10000 ≈ 21.5443469, ³V100000 ≈ 46.4158883
Значит числа, кубы которых пятизначны — это числа от 22 до 46. Пока у нас 25 кандидатов на решение. Сократим перебор ещё. В ребусе все буквы разные, значит все разные должны быть цифры в решении.
  • Двузначные числа, состоящие из одинаковых цифр нам не подходят. Долой 22, 33 и 44. Осталось 22 кандитата.
  • Если число оканчивается на 0, то и куб его оканчиватся на 0. Выкидываем 30 и 40. Осталось 20 вариантов.
  • Если число оканчивается на 5, то и куб его оканчиватся на 5. Выкидываем 25, 35 и 45. Осталось 17 вариантов.
  • Если число оканчивается на 1, то и куб его оканчиватся на 1. Выкидываем 31 и 41. Осталось 15 вариантов.
  • Если число оканчивается на 9, то и куб его оканчиватся на 9. Выкидываем 29 и 39. Осталось 13 вариантов.
  • Если число оканчивается на 4, то и куб его оканчиватся на 4. Выкидываем 24 и 34. Осталось 11 вариантов.
  • Если число оканчивается на 6, то и куб его оканчиватся на 6. Выкидываем 26, 36 и 46. Осталось 8 вариантов.
  • Если число оканчивается на 8, то его куб оканчиватся на 2. Значит 28³ = ****2. Повторяется двойка. 28 нам не подходит. Осталось 7 чисел.
  • Если число оканчивается на 7, то его куб оканчиватся на 3. Значит 37³ = ****3. Повторяется тройка. 37 нам не подходит. Осталось 6 чисел.
Оставшиеся числа придётся проверить.
  • 23³ = 12167
  • 27³ = 19683
  • 32³ = 32768
  • 38³ = 54872
  • 42³ = 74088
  • 43³ = 79507
Подошёл только вариант 27³ = 19683.
8.
Шерлок Холмс и доктор Ватсон, работая вместе, могут вырыть канаву за 6 часов. Если бы Холмс рыл 4 часа, а затем Ватсон — 6 часов, то канава была бы вырыта на 80%. За сколько часов Холмс, работая в одиночку, вырыл бы эту канаву?
Ответ. За 10 часов.
Решение. Если бы Холмс поработал ещё 2 часа, то канава была бы вырыта полностью. За эти два часа Холмс сделал бы оставшиеся 20% работы. Если за два часа он делает 20% работы, то 100% он выполнит за 2 ч × 100/20 = 10 ч.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS