МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год

Версия для печати

Листок 12. Сравнения — 2

1.
Что больше 15.5% от 43 или 43% от 15.5?
Ответ. Значения одинаковы.
Решение. Оба значения равны выражению
15.5 × 43
100
2.
Что больше 5300 или 3500?
Ответ. 3500 > 5300.
Решение. 3500 = (35)100 = 243100
5300 = (53)100 = 125100
При возведении чисел в одинаковые степени неравенства между ними сохраняются. Поскольку 243 > 125, 243100 > 125100. А значит 3500 > 5300.
3.
Число 11…11 делится на 999 999 999. Сколько в нём цифр? (Приведите один пример.)
Решение. Подойдёт число 11…11, состоящее из 81 единицы. Составим дробь:
11…11= 11…11
999 999 9999 × 111 111 111
Потренируемся делить друг на друга числа, состоящие только из единичек на коротком примере:
1111 1111 1111= 100010001.
1111
11…11= 100000000100000000…1000000001
9 × 111 111 1119
В числителе последней дроби 8 блоков вида 100000000 и ещё на конце единица, значит всего 9 единиц. Сумма цифр этого числа 9, поэтому значение дроби целое.
4.
82** делится на 90. Что это за число?
Решение. Число должно делиться на 9 и 10. Чтобы оно делилось на 10 последняя цифра должна быть 0. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9:
8 + 2 + * + 0 ∶ 9
* + 10 ∶ 9
Покольку * — это цифра имеем единственный вариант: 8 (так как 18 делится на 9).

Ответ: 8280

5.
Шаги низкого клоуна на 20% короче шагов высокого, зато он за то же время делает на 20% шагов больше. Какой клоун ходит быстрее?
Ответ. Высокий.
6.
Может ли число 44…44 делиться на 8 при каком-нибудь количестве четвёрок?
Ответ. Не может.
Решение. Составим дробь
44…44=11…11
82
Поскольку 11…11 число нечётное, значение дроби не целое число. От количества единиц, а значит и четвёрок в исходном числе, это не зависит.

Ответ: не может.

7.
Если в выражение n² + n + 41 подставить числа n = 1, 2, 3, 4, 5, получатся простые числа 43, 47, 53, 61, 71. Верно ли, что простые числа будут получаться при подстановке в это выражение любого n?
Ответ. Неверно. Если подставить n = 41, получим
41² + 41 + 41 = 41 × ( 41 + 1 + 1) = 41 × 43.
8.
Решите ребус
 ×***
 ***
****
***
AAAAA
Ответ.
 ×271
 205
1355
542
55555
9.
Разрезать квадрат на остроугольные треугольники (любое количество).
Ответ. Например, так
10.
Может ли число при зачёркивании первой цифры уменьшиться a) в 57 раз b) в 58 раз?
Ответ. a) Может. Например, число 7125. b) Не может.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS