МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Домашняя олимпиада №2

1.

Часы с боем бьют каждые полчаса. Когда минутная стрелка смотрит вверх, они бьют столько раз, сколько часов сейчас наступило, а когда стрелка смотрит вниз, они бьют ровно один раз. Сколько раз часы бьют за сутки? (В полночь часы бьют 12 раз.)

Ответ

Ответ. 24 + 12×13 = 180.

2.

a)

В полночь обе стрелки часов смотрят вверх, потом минутная сразу начинает обгонять часовую. Через какое время они совместятся опять?

Ответ

Ответ. Через 1¹/₁₁ часа.

b)

Сколько раз за сутки стрелки часов смотрят в одну и ту же сторону?

Ответ

Ответ. 11 раз.

3.

Есть две верёвочки, каждая горит ровно 20 минут. Скорость горения верёвочек разная в разных местах. Как с их помощью засечь 15 минут?

Подсказка Решение

Подсказка. Если верёвочка сгорает за x минут, то, если мы подожжём её сразу с двух концов, то она сгорит за ^x/₂ минут.

Решение. Самое важное соображение, которое надо использовать в этой задаче — это то, что если верёвочка сгорает за x минут, то, если мы подожжём её сразу с двух концов, то она сгорит за ^x/₂ минут.

Процесс засекания 15 минут следующий:

• Сначала поджигаем одну из верёвочек с двух концов, а вторую — с одного.
• Через 10 минут первая верёвочка сгорит полностью. Второй осталось гореть ещё 10 минут.
• Теперь поджигаем вторую верёвочку со второго конца. Если бы она горела с одного конца, то догорела бы за 10 минут, значит с двух она догорит за 5.
• Когда догорит вторая верёвочка, пройдёт ровно (10 + 5) = 15 минут.

4.

a)

Время, за которое бегун пробежал 800 метров, сначала выразили в минутах с точностью до двух знаков после запятой (то есть, если он пробежал это расстояние за минуту и 20 секунд, то получилось бы число 1.33 ≈ 1¹/₃), а потом перевели в секунды с точностью до целого (умножили на 60 и округлили). Можно ли теперь восстановить исходное число?

Ответ

Ответ. Нельзя.

b)

Время, за которое бегун пробежал 1500 метров, сначала выразили в секундах с точностью до целого, а потом перевели в минуты с точностью до двух знаков после запятой, (разделили на 60 и округлили). Можно ли теперь восстановить исходное число?

Ответ

Ответ. Можно.

5.

В письменности антиподов числа записываются теми же цифрами, что и у нас, но каждая цифра имеет другое значение (ни одна не совпадает!). Оказалось, что у антиподов верны равентсва 5 · 8 + 7 + 1 = 48
2 · 2 · 6 = 24
5 · 6 = 30 Как антипод продолжит равенство 2³ = …? Что у антиподов означает цифра 9?

Ответ

Ответ. 2³ = 8, антиподовская „9” равна обычному 0.

6.

Пентамино — это фигура, состоящая из 5 клеточек. Например, такая: . Разрежьте прямоугольник размером 5 на 12 на 12 различных пентаминошек.

7.

В стол вбиты три вертикальных стержня. На первом из них нанизано 300 красных колец, на втором — 300 синих. Третий стержень пуст. За один ход можно взять верхнее кольцо с любого стержня и переложить его на другой стержень. Вовочка хочет, чтобы кольца на первом стержне чередовались по цвету, начиная с синего: синий-красный-синий-…, а на втором — начиная с красного: красный-синий-красный-… (считая снизу). Сможет ли он этого добиться за 1000 ходов?

8.

Кто побеждает в следующих играх?

a)

Двое закрашивают доску 100×100. Первый рисует квадратики 2×2, а второй — трёхклеточные уголки. Прогрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ

Ответ. Второй (уголки).

b)

Первый закрашивает одну клетку, а второй — трёхклеточные уголки. Прогрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ

Ответ. Второй (уголки).

9.

Найдите наибольший общий делитель всех девятизначных чисел, состоящих из разных цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 во всех возможных порядках. (то есть НОД чисел 123456789, 154723986, 543786921 и т. д.)

Ответ Решение

Ответ. 9.

Решение. Во-первых заметим следующее: сумма всех цифр 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 — число, делящееся на 9, значит любое число, составленное из этих цифр будет делиться на 9. Теперь заметим, что среди рассматриваемых чисел есть числа 987654321 и 987654312, разность между которыми равна 987654321 − 987654312 = 9. Два числа, отличающиеся на 9 не могут делиться на число, большее 9, одновременно, значит НОД всех чисел не может быть больше.

Ответ: 9.

10.

Вася написал 5-значное число, затем записал то же число задом наперёд и полученную пару чисел сложил. a) Докажите, что в полученной сумме хотя бы одна цифра чётная. b) Осталось ли бы верным это утверждение, если бы число было 6-значным? c) А 7-значным?