МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2005/2006 учебный год

Листок 0. Вступительная работа

1.
Длину кирпича увеличили на 25%, а ширину уменьшили на одну треть. На сколько процентов и в какую сторону (уменьшить или увеличить) надо изменить высоту кирпича, чтобы его объём сохранился?

Ответ Указание Решение

Ответ. Увеличить на 20%.
Указание. Если вам трудно сразу решить задачу, попробуйте подставить конкретные числа в качестве длины, ширины и высоты. Не обязательно при этом заботиться о том, чтобы числа действительно походили на размеры реального кирпича, главное, чтобы было легко считать. Например возьмите длину и высоту 100 сантиметров (чтобы целое число процентов было целым числом), а ширину — 30 сантиметров (чтобы целым числом была треть).
Решение. Пусть старые длина, ширина и высота кирпича равны a, b и c. После изменения длина стала равняться 1.25a = 5/4a, ширина — 2/3b, a высота — неизвестной пока величине x. Объём нового кирпича равен 5/4a · 2/3b · x = 5/4 · 2/3 · abx = 5/6abx. По условию этот объём равен старому: abc. Получаем уравнение
5/6 abx = abc
Сокращаем на ab правую и левую часть:
5/6 x = c
Теперь мы можем найти x:
x = 6/5 c
Итак, новое значение высоты получается из старого умножением на 6/5=1.2, то есть высота увеличилась на 20%.

Ответ: надо увеличить высоту на 20%.

2.
В тесте к каждому вопросу указаны 5 вариантов ответа. Маша отвечает на все вопросы правильно. Когда Вове удаётся списать, он тоже отвечает правильно, а в противном случае — наугад (то есть среди несписанных ответов он правильно отвечает на 1/5 часть). За год Владимир правильно ответил на половину вопросов. Какую долю ответов ему удалось списать?

Ответ Решение

Ответ. Удалось списать 3/8 ответов.
Решение. Неправильные ответы не могут быть списанными. Причём среди списанных доля неправильных равна 4/5, то есть несписанных-правильных в 4 раза меньше, чем несписанных-неправильных. Известно, что несписанных-неправильных — половина от общего количества вопросов. Значит, списанных-правильных — (1/2)/4 = 1/8. Значит всего несписанных, правильных и неправильных, 1/8 + 1/2 = 5/8, а списанных 1 − 5/8 = 3/8.
3.
Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на 4 одинаковые по форме и площади части так, чтобы из них можно было сложить квадрат размером 6×6 с шахматной раскраской.

Указание

Указание. Легко догадаться, с чего можно начать разрезание. Поскольку требуется, чтобы в результате раскраска была шахматная, то две клетки одного цвета, расположенные рядом, обязательно попадут в разные части, то есть между ними пройдёт разрез.
4.
Брат вышел из дома на 5 минут позже сестры, зато шёл в полтора раза быстрее. Через какое время он её догонит?

Ответ Решение

Ответ. Через 10 минут.
Решение.

Пусть скорость сестры равна x, тогда скорость брата 1.5x. Скорость сближения 0.5x, а расстояние между идущими в момент начала движения — это расстояние пройденное сестрой (со скоростью x) за 5 минут. Оно равно 5x. Итак, нужно преодолеть расстояние 5x со скоростью 0.5x. Разумеется, время равно расстоянию, поделённому на скорость, то есть 5x/0.5x = 5/0.5 = 10 минут.

Заметим, что хотя мы ввели некое обозначение для неизвестной величины, скорости, уравнение решать не пришлось. Ответ был получен с помощью вычислений, в которых, впрочем, была использована неизвестная величина.

5.
За 25 бубликов заплатили столько рублей, сколько бубликов можно купить на один рубль. Сколько стоит бублик?

Ответ

Ответ. 20 копеек.
6.
Напишите самую короткую последовательность цифр, такую что из неё можно получить любое трёхзначное число, вычеркнув некоторые цифры.

Ответ Решение

Ответ. Например, 12345678901234567890123456789. Короче нельзя, но есть ещё много вариантов последовательностей той же длины.
Решение. Искомая последовательность должна содержать не менее трёх единиц (так как существует число 111), не менее трёх двоек (так как существует число 222), и т. д. не менее трёх девяток (так как существует число 999). Кроме того, не менее двух нулей, так как существует число 100. Значит её длина не менее 9·3 + 2 = 29.

Рассмотрим последовательность цифр, состоящую из трёх блоков:

12345678901234567890123456789
Из этой последовательности можно получить любое трёхзначное число следующим образом: сначала вычёркиваем все цифры первого блока, кроме первой цифры данного числа, потом все цифры второго блока, кроме второй цифры данного числа, и наконец, все цифры третьего блока, кроме третьей цифры числа. Длина последовательности равна 29, значит более короткую найти не удастся.

Разумеется, существуют и другие подходящие последовательности данной длины. Например,

87391465269203718459641083572
7.
Найдите такое наименьшее положительное число, что 15% и 33% от него целые числа (само число не обязательно целое!).

Ответ

Ответ. Это число 100/3 = 331/3.
8.
Сумма чисел, обратных к 2, 3 и 6 равна единице:
1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.
А можете ли вы найти 9 различных натуральных чисел сумма обратных к которым тоже равна 1?

Решение

Решение. Угадать сразу все 9 чисел довольно сложно. Поэтому мы попробуем «размножить» пример, приведённый в условии.

1 способ:
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1/2 + 1/3 + 1/6·1 =
= 1/2 + 1/3 + 1/6(1/2 + 1/3 + 1/6) =
= 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/18 + 1/36 =
= 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/18 + 1/36·1 =
= 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/18 + 1/36(1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/18 + 1/36) =
= 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/18 + 1/72 + 1/108 + 1/432 + 1/648 + 1/1296

2 способ:
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/64 =
= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/64·1 =
= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/64(1/2 + 1/3 + 1/6) =
= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/192 + 1/384