МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 11 (5 декабря 2015 года)

1.

И сказал Кащей Ивану Царевичу: «Жить тебе до завтрашнего утра. Утром явишься пред мои очи, задумаю я три цифры x, y и z. Назовёшь ты мне три числа a, b и с. Выслушаю я тебя и скажу, чему равно ax + by + cz. Тогда отгадай, какие цифры x, y, z я задумал. Не отгадаешь – голову с плеч долой!» Запечалился Иван Царевич и пошёл думу думать. Может ли он в живых остаться?

2.

Все цифры шестизначного числа A различны и расположены в порядке возрастания. Чему может равняться сумма цифр числа 9А?

3.

В стране ЛМШатии 2015 городов, каждый из которых соединен авиалиниями не меньше, чем с 1007-ю другими городами этой страны. Докажите, что в внутри страны можно долететь из любого города в любой другой.

4.

Каждый из 10 участников переговоров послал по их окончании поздравительные открытки пятерым другим участникам. Докажите, что какие-то двое послали открытки друг другу.

5.

Докажите, что среди любых 11 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 10.

6.

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «ПЕРЕСТАНОВКА»?

7.

Найдите остаток от деления 12²⁰ + 7¹³ на 11.

8.

У царя Дадона в одиночных камерах сидели 100 пленников. Поворот ручки отпирает каждую камеру, следующий поворот запирает, еще один снова отпирает и т.д. К празднику царь решил освободить часть пленников и накануне послал слугу, который повернул ручку на дверях каждой камеры. Все двери оказались отперты. Но тут пришел второй посыльный и повернул ручку каждой второй камеры. Двери 2-й, 4-й, 6-й, ...камер вновь оказались заперты. Следующий посланец повернул ручки 3-й, 6-й, 9-й, 12-й и т.д. камер. Еще один — в каждой четвертой камере. То же повторяли следующие посланцы вплоть до сотого, повернувшего ручку сотой камеры. Наконец наступил праздник, и сидевшие в открытых камерах вышли на свободу. Сколько пленников освободил Дадон?

9.

На картинке нарисованы четыре одинаковых квадрата. Середины квадратов отмечены точками. Площадь каждого квадрата равна 5. Найдите площади закрашенных фигур.

10.

a)

25 мехматян играют в мафию. Нужно выбрать комиссара, доктора и одного мафиози. Сколькими способами это можно сделать?

b)

А если нужно выбрать комиссара, доктора и трёх мафиози?

c)

А если выбираем комиссара, троих мирных людей и троих мафиози?