МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 3 (10 октября 2015). Разнобой 2

1.

Можно ли вписать в клетки доски 88 различные числа от 1 до 64 так, чтобы в любом квадратике 22 сумма чисел была равна 120?

2.

Инженер, работающий за городом, ежедневно приезжает поездом на одну станцию в одно и то же время. В это же время за ним приезжает машина, и он попадает на завод вовремя. Однажды инженер приехал на станцию на 35 минут раньше, и не дожидаясь машины, пошел пешком на завод. Встретив машину, он сел в нее и приехал на завод на 10 минут раньше обычного. Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины? (Скорости машины и инженера всегда постоянны.)

3.

Треугольник периметра 15 см разрезали на два треугольника. Затем каждый треугольник разрезали на две части. Суммарный периметр всех четырех частей равен 31 см. Чему равна суммарная длина разрезов?

4.

Денис написал на доске несколько натуральных чисел с суммой 100. Старательный Ваня посчитал, сколько написано чисел. Потом он посчитал, сколько написано чисел больших 1. Потом он посчитал, сколько написано чисел больших 2, и так далее... Докажите, что сумма найденных Ваней чисел также равна 100.

5.

Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 120 раз. Докажите, что в результате получился нуль.

6.

Есть четыре гири – 1, 2, 3 и 4 грамма. Одна из них – дефектная (легче или тяжелее того веса, который на ней написан). Можно ли определить эту гирю за 2 взвешивания, и определить, легче она или тяжелее?

7.

В клетках квадратной таблицы 10х10 произвольным образом расставлены числа от 1 до 100. Для каждого из 10 столбцов этой таблицы посчитали сумму чисел. Могло ли оказаться, что суммы любых двух соседних столбцов отличаются ровно на 1?

8.

В 7 классе 20 учеников. а) Каким количеством способов можно выбрать из них одного на соревнование по бегу, еще одного на соревнования по прыжкам, и еще одного на соревнования по метанию? б) Сколькими способами троих, для участия в легкоатлетическом соревновании?