МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2015/2016 учебный год
Группа К (старший преподаватель Л. Н. Колотова)

Занятие 5 (24 октября 2015 года). Площади

Свойства площадей.
  • Площадь целого равна сумме площадей частей.
  • Равные фигуры имеют равные площади.
  • Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна ab.
    1.
    Докажите, что
    а)
    диагональ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника;
    б)
    площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b равна ab/2;
    в)
    площадь произвольного треугольника со стороной a и проведенной к ней высотой b равна ab/2.
    2.
    Установите, что больше: сумма площадей четырех закрашенных треугольников или площадь белой фигуры в центре? (Точки на сторонах прямоугольников — середины соответствующих сторон.)
    3.
    Площади треугольников AOB и DOC равны. Докажите, что равны площади треугольников ABC и DCB.
    4.
    Разрежьте одним прямолинейным разрезом на две части, равные по площади (такие части называются равновеликими):
    а)
    правильный треугольник;
    б)
    равнобедренный треугольник;
    в)
    произвольный треугольник.
    5.
    Дан прямоугольник АВСD.
    а)
    На ВС взята точка К. Докажите, что \(S_{ABCD} = 2 S_{AKD}\).
    б)
    На ВС взяты точки К и L. Докажите, что \(S_{AKD} = S_{ALD}\).
    в)
    Будут ли верны эти результаты, если точки К и L взять на прямой ВС?
    г)
    На прямой ВС взята точка К, а на прямой AD взята точка L. Докажите, что \(S_{AKD} = S_{BLC}\).

    Прямые АВ и с параллельны. Площадь треугольника АВС не зависит от выбора точки С, находящейся на прямой с.

    6.
    Выразите X через S.

    Для самостоятельного решения

    На каком из рисунков закрашена бóльшая площадь? (Сторона каждого квадратика делится на 3 равные части.)