МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Кружок 7 класса
Руководитель Степан Львович Кузнецов
2015/2016 учебный год
2015/2016 учебный год
Группа К (старший преподаватель Л. Н. Колотова)
Занятие 10 (28 ноября 2015 года). Алгебра
«Волшебные» формулы дня:- а)
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
- б)
- \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);
- в)
- \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).
- 1.
-
Найдите все возможные пары таких натуральных чисел \(x\) и \(y\),
что верно равенство:
- а)
- \(x^2 - y^2 = 9\);
- б)
- \(x^2 - y^2 = 43\).
- 2.
-
Разложите на множители:
- а)
- \(a^2 - b^2 + 2a - 2b\);
- б)
- \(a^2 + 2a + 1\);
- в)
- \(a^2 + 2a + 1 - b^2\).
- 3.
- Известно, что \(ab\) делится на \(c\) и \((a + b)\) делится на \(c\). Докажите, что делится на \(c\).
Указание. Используйте одну из «волшебных» формул.- 4.
- При каком наименьшем значении \(K\) число \(K^2+K+41\) составное?
- 5.
- Разность чисел \(\overline{abc} - \overline{def}\) делится на 7. Докажите, что число \(\overline{abcdef}\) делится на 7.
- 6.
- Известно, что число \(A = 16a + 17b\) делится на 11. Докажите, что тогда число \(B = 17a+16b\) также делится на 11.
- 7.
- Найдите все натуральные числа \(n \geqslant 100\) такие, что если отбросить у \(n\) две последние цифры, а затем полученное число возвести в квадрат, то получится снова \(n\).
- 8.
- Известно, что \(a > 1\), \(b > 1\). Докажите, что \(ab + 1 > a + b\).
- 9.
- Докажите, что сумма \(n\) подряд идущих нечётных чисел, начиная с 1, равна \(n^2\) а) алгебраически; б) геометрически.
Для самостоятельного решения