МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 1 (26 сентября 2015 года). Разнобой

1.

Имеется неограниченный запас фигурок, изображенных на рисунке справа. Можно ли из них сложить квадрат? (Фигурки можно поворачивать, переворачивать, но нельзя накладывать их друг на друга и оставлять внутри квадрата пустоты.)

2.

Кирилл закрасил в квадрате 6×6 несколько клеток. После этого оказалось, что во всех квадратиках 2×2 одинаковое число закрашенных клеток и во всех полосках 1×3 одинаковое число закрашенных клеток. Докажите, что старательный Кирилл закрасил все клетки.

3.

Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева — не пятерка?

4.

Книга сшита из 12 одинаковых тетрадей, каждая тетрадь из двойных листов. Все страницы пронумерованы. Сумма номеров четырёх страниц одного двойного листа пятой тетради равна 578. Сколько страниц в книге?

5.

Среди 100 туристов провели анкету. Оказалось, что 95 из них бывали в Санкт-Петербурге, 85 — в Нижнем Новгороде, 75 — в Екатеринбурге и 65 — в Новосибирске. Докажите, что по крайней мере 20 из них бывали во всех четырёх этих городах.

6.

В компании из 12 аборигенов каждого попросили назвать какого-нибудь лжеца. Оказалось, что каждого назвали лжецом ровно один раз. Сколько в этой компании рыцарей?

7.

100 конфет были разложены по нескольким кучкам. Пришел хулиган Вася и переложил некоторые конфеты в другие кучки. Он говорит, что после этого в каждой кучке количество конфет либо увеличилось, либо уменьшилось ровно вдвое. Может ли это быть правдой?

8.

Сто гирек стоят в ряд, при этом массы любых соседних гирек различаются на 1 г. Докажите, что гирьки можно разложить на две чашки весов так, что весы будут в равновесии.

9.

Каждому из трех логиков написали на лбу натуральное число, причем одно из этих чисел являлось суммой двух других, и сообщили им об этом. Логик не видит, что написано у него на лбу, но видит, что написано у других. Первый логик сказал, что не может догадаться, какое число написано у него на лбу. После этого то же самое сказал второй логик, а затем и третий. Тогда первый сказал: «Я знаю, что у меня на лбу написано число 51». Какие числа написаны у двух остальных?