МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 9 (21 ноября 2015 года). Теория чисел

1.

Два класса купили 737 учебников. Каждому досталось одно и то же число учебников. Сколько было ребят в обоих классах вместе?

2.

Делимое равно 371, остаток 30. Найти делитель и соответствующее ему неполное частное.

3.

Перечислите все делители чисел: а) 3·5·5·11; б) 5·45; в) 1001; г) 256.

4.

Найдите самое маленькое составное число такое, что оно не делится ни на одно число, меньшее 10.

5.

Сколько натуральных делителей имеет число: а) \(p^q\), b) \(p^2q^3\), \(p\) и \(q\) – простые числа.

6.

Пусть \(a\) – целое и \(a + 1\) делится на 3. Докажите, что \(4 + 7a\) делится на 3.

7.

Какой остаток при делении на 7 даёт число: а) 4395; б) 17645; в) 1781003?

8.

Пусть \(a\) и \(b\) – целые и \((3a + 7b) \mathop{\vdots} 19\). Докажите, что \((41a + 83b) \mathop{\vdots} 19\).

9.

Докажите, что число вида \(\overline{abcabc}\) не может быть точным квадратом.

10.

Найдите все такие натуральные числа \(p\), что \(p\) и \(5p+1\) — простые числа.

Для самостоятельного решения

1.

Какой остаток от деления на 8 дает число \(9^{2015} + 7^{2015} - 2^{2015}\)?

2.

Число \(A\) имеет 5 делителей, а число \(B\) — 7 делителей. Может ли произведение \(AB\) иметь ровно 10 делителей?

3.

Докажите, что \(\overline{abc} - \overline{cba} \mathop{\vdots} 99\).