МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 14. Завтра Матпраздник!

1.

У Юры есть калькулятор, который позволяет умножать число на 3, прибавлять к числу 3 или (если число делится на 3 нацело) делить на 3. Как на этом калькуляторе получить из числа 1 число 11?

2.

Вокруг стола пустили пакет с семечками. Первый взял одну семечку, второй — две, третий — три, и так далее: каждый следующий брал на одну семечку больше предыдущего. Известно, что на втором круге было взято на 100 семечек больше, чем на первом. Сколько человек сидело за столом?

3.

Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

4.

Маленькие детки кушали конфетки. Каждый съел на 7 конфет меньше, чем все остальные вместе, но все же больше одной конфеты. Сколько всего конфет было съедено?

5.

Начертите два четырёхугольника, из которых можно сложить: а)как треугольник, так и пятиугольник; б)и треугольник, и четырёхугольник, и пятиугольник. Покажите, как это можно сделать.

6.

Пять хоккейных команд провели турнир: каждая сыграла с каждой по разу. За победу давалось 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Четыре команды набрали, соответственно, 1, 2, 5 и 7 очков. А сколько очков набрала пятая команда?

7.

Прямоугольник разрезали шестью вертикальными и шестью горизонтальными разрезами на 49 прямоугольников. Оказалось, что периметр каждого из получившихся прямоугольников — целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника — целое число метров?

8.

Петя закрасил одну клетку прямоугольника. Саша может закрашивать другие клетки этого прямоугольника по следующему правилу: можно красить любую клетку, у которой нечётное число закрашенных соседей (по стороне). Сможет ли Саша закрасить все клетки прямоугольника (независимо от того, какую клетку выбрал Петя), если размеры прямоугольника: а) 8×9 клеток? б) 8×10 клеток?