МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 13

1.

В каждой клетке доски 4×4 лежит слива. Уберите 6 слив так, чтобы в каждой горизонтали и каждой вертикали осталось чётное число слив.

Решение

Решение. Например, убрать сливы из клеток A1, A2, B1, B3, C2, C3 (в «шахматных» обозначениях). Но других способов тоже много.

2.

Есть 7 бочонков, полных мёда, 7 бочонков, наполненных мёдом наполовину, и 7 пустых бочонков. Разделите их между тремя людьми так, чтобы каждый получил поровну и мёда, и бочонков. Все бочонки равны по объёму. Мёд переливать нельзя.

Ответ Решение

Ответ. Первому и второму человеку выдать по 3 полных бочонка, по одному полупустому и по три пустых, оставшиеся бочонки выдать третьему.

Решение. Ясно, что каждый должен получить по семь бочонков. А общий объём мёда равен 7 бочонкам и ещё семи половинкам бочонка, то есть 7 + 7/2 = 21/2. Значит, каждый должен получить по 21/2 : 3= 7/2 бочонков мёда. После этого уже нетрудно получить способ, приведённый в ответе.

3.

Одну сторону прямоугольника увеличили на 12 см и получили квадрат. От этого периметр увеличился в полтора раза. Чему равна сторона получившегося квадрата?

Ответ Решение

Ответ. 18 см.

Решение. Периметр прямоугольника увеличился на 24 см (две из четырёх сторон увеличились на 12 см каждая), и в то же время он увеличился в полтора раза. Обозначив периметр прямоугольника за Р, получим уравнение P + 24 = 1,5P, откуда P = 48. Значит, периметр квадрата равен 48 + 24 = 72 см, а его сторона равна 72 : 4 = 18 см.

4.

Разрешается умножить число на любую его цифру или вычесть из числа любую его цифру. Можно ли из числа 5 за несколько таких операций получить число 91?

Ответ Решение

Ответ. Нельзя.

Решение. Число 91 нельзя получить из другого числа умножением на какую-либо его цифру, потому что 91 = 7 · 13 = 91 · 1. Из чисел от 92 до 100 нельзя получить 91 вычитанием цифры того же числа (проверьте!), а из чисел больше 100 при вычитании любой цифры получится число не меньше 101 − 9 = 92.

5.

Как, не имея никаких измерительных приборов, отмерить 50 см от шнурка длиной 2/3 м?

Решение

Решение. Сложив шнурок вчетверо, отмерим часть шнурка длиной 2/3 : 4 = 1/6 м. Отрезав его, получим как раз 2/3 − 1/6 = 1/2 м.

6.

Есть 4 железных и 4 алюминиевых шарика. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти пару шариков, один из которых железный, а другой алюминиевый, если известно, что алюминий легче железа? При этом не обязательно выяснять, какой из двух выбранных алюминиевый, а какой железный.

Решение

Решение.

Сначала кладем на чашки весов по 4 шарика. Если чашки уравновесились, то на каждой из них по два железных и по два алюминиевых шарика. В этом случае вторым взвешиванием сравниваем две пары шариков, лежавших до этого на одной чашке. Если уравновесились, то в обеих парах железный и алюминиевый шарики; если не уравновесились, то на более легкой чашке два алюминиевых шарика, а на более тяжелой два железных.

Если же при первом взвешивании весы не уравновесились, то на более тяжелой чашке по крайней мере три железных шарика. Тогда вторым взвешиванием сравниваем две пары шариков, лежавших на более тяжелой чашке. Если эти две пары уравновесились, то все четыре шарика — железные, а оставшиеся 4 алюминиевые. Если нет, то в более легкой паре один шарик железный, а другой — алюминиевый.

7.

На планете «Куб», имеющей форму куба, каждой гранью владеет рыцарь или лжец. Каждый из них утверждает, что среди его соседей лжецов больше, чем рыцарей. Сколько рыцарей может быть на планете?

Ответ Решение

Ответ. Двое.

Решение. Хотя бы один рыцарь должен быть (иначе все жители планеты будут лжецами, но скажут правду). У этого рыцаря 4 соседа, из них хотя бы трое должны быть лжецами (иначе лжецов будет не больше половины). Если четвёртый сосед будет рыцарем, то еще один сосед этого соседа (тот житель, про которого мы пока ничего не сказали) должен быть лжецом, но тогда окажется, что он сказал правду, а этого быть не могло. Если же четвёртый сосед первого рыцаря — тоже лжец, то оставшийся сосед этого соседа должен быть рыцарем (потому что говорит правду).

8.

Расставьте на рёбрах куба числа от 1 до 12 так, чтобы суммы чисел на всех гранях были одинаковы.

Ответ Решение

Ответ. Обозначим куб ABCDA₁B₁C₁D₁. (извините, автору этого текста лень было рисовать картинку :)) Числа на рёбрах можно расставить, например, так:
AA₁ – 10, BB₁ – 3, CC₁ – 12, DD₁ – 1, AB – 8, BC – 7, CD – 2, DA – 9, A₁B₁ – 5, B₁C₁ – 4, C₁D₁ – 11, D₁A₁ – 6.

Решение. Сначала полезно посчитать, какой будет сумма чисел на каждой грани. Число на каждом ребре участвует в двух суммах чисел на гранях, примыкающих к этому ребру. Поэтому сумма чисел на всех гранях вдвое больше суммы чисел на всех рёбрах и равна (1 + 2 + 3 + ... + 12) · 2 156. Ну а сумма чисел на каждой грани должна быть равна (1 + 2 + 3 + ... + 12) · 2 : 6 = 26. После этого можно начинать расставлять числа.

9.

Если шёл снег, то через три дня он таял. Когда снег таял, была плюсовая температура и снег не шёл. Если в какой-то день светило солнце, то снег в этот день не шёл. День называется чудесным, если в этот день светит солнце и лежит снег. В январе 10 дней шёл снег и 15 дней светило солнце. Сколько максимум чудесных дней могло быть в январе?

Ответ Решение

Ответ. 14 дней.

Решение.

Докажем, что больше 14 чудесных дней быть не могло. Снег шел 10 дней, значит, еще 10 дней он должен таять. Часть дней таяния можно перенести на февраль, но, очевидно, не больше трёх. Итого не чудесными будут 10 снежных дней и не менее 7 дней таяния, и остается не более 14 чудесных дней.

Пример на 14 чудесных дней строится так. С 1 по 28 января погода устроена блоками по 4 дня: снег – солнце – солнце – таяние, а 29, 30 и 31 января идет снег (который тает уже в феврале).