МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 12. Всего понемножку.

1.

Кирилл записал номер телефона, но случайно пропустил одну цифру и получил 6-значное число. Сколько 7-значных телефонных номеров придется обзвонить Кириллу в попытках угадать номер?

2.

Имеется две кучки по 11 спичек. За ход разрешается взять две спички из одной кучки и одну из другой. Кто не может сделать ход — проиграл. У какого игрока есть выигрышная стратегия?

3.

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать:
а) по одной карте каждой масти;
б) по одной карте каждой масти так, чтобы они все были различных достоинств;
в) по одной карте каждой масти, чтобы карты красных мастей были одного достоинства и карты черных мастей тоже были одного достоинства?
(Напоминаем, что в такой колоде по 9 карт каждой из четырёх мастей.)

4.

На столе лежат 20 спичек. Игрок может взять 2, 3, или 4 спички, но не может взять столько, сколько взял предыдущий. Кто не может сходить — проигрывает. У какого игрока есть выигрышная стратегия?

5.

Назовём число хорошим, если оно делится на 3, 7 или 11. Сколько хороших чисел в диапазоне от 1 до 1000?

6.

Сколько делителей у числа а) 12, б) 600, в) 2 ·3 ·5 ·7 · 11 · 13 · 17, г) 8 · 25 · 81 · 11, д) 10! ?

7.

a, b, c — натуральные числа, причем a + b + c делится на 6. Докажите, что a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.

8.

После Малого Мехмата часть семиклассников осталась играть в снежки. Выяснилось, что те, у кого было чётное число знакомых среди оставшихся, попали по одному разу в каждого из своих играющих знакомых, а те, у кого было нечётное число знакомых, попали по разу в каждого незнакомого. Остальные снежки пролетели мимо. Может ли найтись школьник, в которого попали нечётное число раз?

9.

Перед вами трое: лжец, правдец и хитрец (говорит правду или ложь по своему усмотрению), которые знают, кто из них кто. Узнайте, кто есть кто с помощью вопросов, на которые можно ответить только «да» или «нет», причём один вопрос задаётся одному человеку.
а) Вопросы можно задавать в любом количестве.
б) Всего можно задать не более трёх вопросов.

10.

На Малом Мехмате любые два школьника, имеющие на Малом Мехмате равное количество друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что у кого-то из школьников ровно один друг на Малом Мехмате.