МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 1. Знакомство

1.

Разрежьте квадрат 4×4 на две равные части четырьмя различными способами так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. Способы, различающиеся поворотом или отражением, считаются одинаковыми.

2.

Как из 15-литровой бочки отлить 8 л воды, имея две бочки вместимостью 5 л и 9 л? Переливать воду можно только в эти две бочки.

3.

В записи 1*2*4*8*16*32*64 = 27 замените знаки «*» знаками «+» и «−» так, чтобы равенство стало верным.

4.

Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно получить, переставляя буквы в слове:

а)

МАЛЫЙ;

б)

МЕХМАТ?

5.

а)

31 декабря 2011 года возраст Евгения Александровича совпадал с суммой цифр его года рождения. Сколько лет Евгению Александровичу будет 31 декабря этого года?

б)

Докажите единственность ответа.

6.

Четыре друга пришли с рыбалки. Каждые двое сосчитали сумму своих уловов. Получилось шесть чисел: 7, 9, 14, 14, 19, 21.

а)

Сколько всего рыб было поймано?

б)

Сможете ли вы узнать, каковы были уловы?

7.

Гриб называется плохим, если в нём не меньше 10 червей. В лукошке 91 плохой гриб и 10 хороших. Могут ли все грибы в лукошке стать хорошими после того, как некоторые червяки переползут в другие грибы?

8.

На доске 8×8 на первой горизонтали стоят 8 белых фишек, а на последней — 8 чёрных фишек. Первыми ходят белые. За один ход можно передвинуть любую свою фишку на любое число клеток вперёд или назад по вертикали. Запрещается ходить на занятые поля, перепрыгивать через фишки соперника и пропускать ходы. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто из игроков может обеспечить себе победу?

9.

На кружке каждая девочка знакома с 5 девочками и 6 мальчиками, а каждый мальчик — с 7 девочками и с 4 мальчиками. Какое наименьшее количество школьников может быть на кружке?

10.

Клетчатый квадрат 2013×2013 разрезали на несколько прямоугольников (по границам клеток). Докажите, что среди них найдётся прямоугольник, периметр которого делится на 4.