МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Дополнительный набор – 2 (27.10.2012)

1.

Как с помощью двух кувшинов объёмом 3 литра и 5 литров набрать 2 литра воды? А 4 литра? А 1 литр?

Решение

Решение. Наполним пятилитровый кувшин водой и отольём из него 3 литра в маленький кувшин. В большом останется 2 литра. Теперь выльем из трёхлитрового воду в реку. Затем перельём два литра из большого кувшина, в освободившийся маленький. После этого наберём полный пятилитровый кувшин и наполним из него маленький кувшин. В нём будет три литра, а было два. Значит, из большого кувшина в маленький мы отлили ровно 1 литр, а осталось в большом — 4. Наконец, если мы выльем снова маленький кувшин весь в реку и снова на-полним его из большого кувшина, то в большом станет на 3 литра меньше, то есть останется 1 литр.

2.

В классе 27 учеников. Среди любых 11 учеников есть хотя бы одна девочка, а среди любых 18 учеников — хотя бы один мальчик. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

Ответ Решение

Ответ. 10 мальчиков и 17 девочек.

Решение. Раз среди любых 11 учеников есть хотя бы одна девочка, значит, мальчиков меньше 11 (иначе из них можно было бы составить 11 учеников, средни которых нет девочки, что противоречило бы условию задачи). Точно так же раз среди любых 18 учеников есть хотя бы один мальчик, поэтому девочек меньше 18. То есть мальчиков не больше 10, а девочек — не больше 17. Но раз в сумме их 27, то значит, мальчиков в точности 10, а девочек в точности 17.

3.

В пробирку помещают одну бактерию. Каждые две минуты количество бактерий в пробирке удваивается. Через час пробирка заполняется бактериями целиком. За какое время пробирка заполнится бактериями наполовину, если изначально поместить туда не одну бактерию, а две?

Ответ Решение

Ответ. За 56 минут.

Решение. Каждые две минуты бактерий становится вдвое больше. Значит, раз за час их набралась целая пробирка, то за две минуты до конца часа бактерий было вдвое меньше, то есть ровно половина пробирки. Если же мы начнём не с одной бактерии, а с двух, то время уменьшится ещё на две минуты (потому что эти 2 минуты не надо будет тратить на превращение одной бактерии в две — бактерий уже изначально две). Итак, мы экономим две минуты в начале процесса и заканчиваем на две минуты раньше. Итого нам потребуется на 4 минуты меньше, чем час, то есть 56 минут.

4.

В одной из трёх комнат сидит принцесса, в другой — тигр, а оставшаяся комната пуста. На дверях комнат висят таблички. На первой: «Здесь сидит принцесса», на второй: «Третья комната не пуста», на третьей: «Здесь сидит тигр». Известно, что все надписи неверны. Где находится принцесса? А тигр?

Ответ Решение

Ответ. Принцесса во второй комнате, а тигр в первой.

Решение. Заметим, что из надписи на второй комнате сразу следует, что последняя комната пуста. Из надписи на первой комнате понятно, что принцесса не в первой комнате. Поэтому ей остаётся быть только во второй. Методом исключения получим, что тигр сидит в первой комнате.

5.

Бармалей поймал 15 маленьких детей и думает, что с ними сделать: съесть или отпустить.

а)

Сколько у него есть способов выбрать троих детей: одного на завтрак, другого на обед и третьего на ужин?

б)

Сколько у него есть способов выбрать троих детей, чтобы отпустить их?

Ответ Решение

Ответ. а) 15·14·13 2730; б) (15·14·13) : (3·2·1) = 455.

Решение.

а) На завтрак он может выбрать любого из 15, это 15 вариантов. Кого бы он ни выбрал, для любого варианта завтрака у него есть ещё 14 вариантов выбрать кого-то на обед. То есть вариантов составить завтрак и обед у него 157·14 (по 14 на каждый из пятнадцати вариантов завтрака). Однако для каждого из этих вариантов есть ещё по 13 вариантов выбора ужина. Поэтому всего у него 15·14·13 способов составить меню на весь день.

б) Теперь предположим, что он отпустит как раз тех троих, кого выбрал для трапезы. Заметим, что теперь нет никакой разницы, в каком порядке детей отпускать. Давайте посмотрим, сколько есть способов конкретную троицу распределить по трём трапезам (или, что то же самое, в скольких вариантах из пункта а оказываются съедены одни и те же трое детей). Легко заметить, что таких способов 6 = 3·2·1. А именно, один из троих — на завтрак, один из оставшихся двоих — на обед и последний — на ужин. Поэтому способов отпустить троих в 6 раз меньше, чем способов выбрать троих на три трапезы.